Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk28-3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk28-3 40269
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk3.u1 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk28-3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝑧 = (π‘π‘ŒπΊ)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   π‘Š,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   ∧ ,𝑗   ≀ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑏,𝑑,𝑆,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝐹,𝑑,𝑒   ≀ ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   ≀ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝑧,𝑏,𝐡   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑃,𝑏   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑧   π‘Œ,𝑏,𝑧   𝑧,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐡(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑃(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑓,𝑖)   𝐻(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (𝑧,𝑏)   𝐾(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   ≀ (𝑧,𝑓,𝑑)   ∧ (𝑧,𝑏)   𝑁(𝑧,𝑒,𝑑)   π‘Œ(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)
Proof of Theorem cdlemk28-3
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21l 1287 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 simp21r 1288 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4 simp23 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
52, 3, 43jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
6 simp22l 1289 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
7 simp22r 1290 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
8 simp3r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
96, 7, 83jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
10 simp3l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
11 cdlemk3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 cdlemk3.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 cdlemk3.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 cdlemk3.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
15 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
16 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
17 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
20 cdlemk3.u1 . . . 4 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
2111, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk26b-3 40266 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
221, 5, 9, 10, 21syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
23 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2423ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
25 simp2l 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
26 simp123 1304 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
2724, 25, 263jca 1125 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
2863ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
29 simp2r 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑇)
3028, 29jca 511 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇))
31 simp13l 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
32 simp13r 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
3333ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
34 simp3l1 1275 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3532, 33, 343jca 1125 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
3673ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
37 simp3r1 1278 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3836, 37jca 511 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
39 simp3r3 1280 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
4039necomd 2988 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘Ž))
41 simp3r2 1279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
42 simp3l2 1276 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
4340, 41, 423jca 1125 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘Ž) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
44 simp3l3 1277 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
4544necomd 2988 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘))
4611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk27-3 40268 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘Ž) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘))) β†’ (π‘π‘ŒπΊ) = (π‘Žπ‘ŒπΊ))
4723, 27, 30, 31, 35, 38, 43, 45, 46syl332anc 1398 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘π‘ŒπΊ) = (π‘Žπ‘ŒπΊ))
48473exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ((𝑏 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘π‘ŒπΊ) = (π‘Žπ‘ŒπΊ))))
4948ralrimivv 3190 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑇 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 (((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘π‘ŒπΊ) = (π‘Žπ‘ŒπΊ)))
50 neeq1 2995 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
51 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ (π‘…β€˜π‘) = (π‘…β€˜π‘Ž))
5251neeq1d 2992 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
5351neeq1d 2992 . . . . 5 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ↔ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
5450, 52, 533anbi123d 1432 . . . 4 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ↔ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ))))
55 oveq1 7408 . . . 4 (𝑏 = π‘Ž β†’ (π‘π‘ŒπΊ) = (π‘Žπ‘ŒπΊ))
5654, 55reusv3 5393 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑇 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 (((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘π‘ŒπΊ) = (π‘Žπ‘ŒπΊ)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝑧 = (π‘π‘ŒπΊ))))
5756biimpd 228 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑇 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 (((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘π‘ŒπΊ) = (π‘Žπ‘ŒπΊ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝑧 = (π‘π‘ŒπΊ))))
5822, 49, 57sylc 65 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝑧 = (π‘π‘ŒπΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   I cid 5563  β—‘ccnv 5665   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  β€˜cfv 6533  β„©crio 7356  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18266  meetcmee 18267  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-map 8818  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520
This theorem is referenced by:  cdlemk29-3  40272
  Copyright terms: Public domain W3C validator