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Theorem cdlemk28-3 37911
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk3.u1 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk28-3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑏,𝑑,𝑆,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   ,𝑏   𝐴,𝑏   𝑧,𝑏,𝐵   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑃,𝑏   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑧   𝑌,𝑏,𝑧   𝑧,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑃(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑓,𝑖)   𝐻(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑧,𝑏)   𝐾(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑧,𝑓,𝑑)   (𝑧,𝑏)   𝑁(𝑧,𝑒,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk28-3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21l 1284 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐹𝑇)
3 simp21r 1285 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4 simp23 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑁𝑇)
52, 3, 43jca 1122 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇))
6 simp22l 1286 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺𝑇)
7 simp22r 1287 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
8 simp3r 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
96, 7, 83jca 1122 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
10 simp3l 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
11 cdlemk3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 cdlemk3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
13 cdlemk3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
14 cdlemk3.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
15 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
19 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
20 cdlemk3.u1 . . . 4 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
2111, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk26b-3 37908 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
221, 5, 9, 10, 21syl31anc 1367 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
23 simp11 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2423ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
25 simp2l 1193 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏𝑇)
26 simp123 1301 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑁𝑇)
2724, 25, 263jca 1122 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇))
2863ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
29 simp2r 1194 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑎𝑇)
3028, 29jca 512 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺𝑇𝑎𝑇))
31 simp13l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
32 simp13r 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
3333ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp3l1 1272 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3532, 33, 343jca 1122 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3673ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
37 simp3r1 1275 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3836, 37jca 512 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
39 simp3r3 1277 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))
4039necomd 3076 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑎))
41 simp3r2 1276 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹))
42 simp3l2 1273 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹))
4340, 41, 423jca 1122 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑎) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹)))
44 simp3l3 1274 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))
4544necomd 3076 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑏))
4611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk27-3 37910 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑎𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑎) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑏))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
4723, 27, 30, 31, 35, 38, 43, 45, 46syl332anc 1395 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
48473exp 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ((𝑏𝑇𝑎𝑇) → (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))))
4948ralrimivv 3195 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∀𝑏𝑇𝑎𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)))
50 neeq1 3083 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
51 fveq2 6667 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑎 → (𝑅𝑏) = (𝑅𝑎))
5251neeq1d 3080 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹)))
5351neeq1d 3080 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))
5450, 52, 533anbi123d 1429 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ↔ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))))
55 oveq1 7155 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
5654, 55reusv3 5302 . . 3 (∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇) → (∀𝑏𝑇𝑎𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)) ↔ ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺))))
5756biimpd 230 . 2 (∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇) → (∀𝑏𝑇𝑎𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)) → ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺))))
5822, 49, 57sylc 65 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063  cmpt 5143   I cid 5458  ccnv 5553  cres 5556  ccom 5558  cfv 6352  crio 7105  (class class class)co 7148  cmpo 7150  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  Atomscatm 36266  HLchlt 36353  LHypclh 36987  LTrncltrn 37104  trLctrl 37161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-riotaBAD 35956
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-undef 7930  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-llines 36501  df-lplanes 36502  df-lvols 36503  df-lines 36504  df-psubsp 36506  df-pmap 36507  df-padd 36799  df-lhyp 36991  df-laut 36992  df-ldil 37107  df-ltrn 37108  df-trl 37162
This theorem is referenced by:  cdlemk29-3  37914
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