Theorem cdlemk28-3 42105

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk28-3	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ∃𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑏,𝑑,𝑆,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ≤ ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   ≤ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝑧,𝑏,𝐵   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑃,𝑏   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑧   𝑌,𝑏,𝑧   𝑧,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧, 𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐵(𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑑)   𝑃(𝑧)   𝑆(𝑧, 𝑓, 𝑖)   𝐻(𝑧, 𝑒, 𝑓, 𝑑)   ∨ (𝑧, 𝑏)   𝐾(𝑧, 𝑒, 𝑓, 𝑑)   ≤ (𝑧, 𝑓, 𝑑)   ∧ (𝑧, 𝑏)   𝑁(𝑧, 𝑒, 𝑑)   𝑌(𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑑)

Proof of Theorem cdlemk28-3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp21l 1309	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp21r 1310	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4		simp23 1227	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
5	2, 3, 4	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
6		simp22l 1311	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
7		simp22r 1312	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
8		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
9	6, 7, 8	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
10		simp3l 1220	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
11		cdlemk3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		cdlemk3.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		cdlemk3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		cdlemk3.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15		cdlemk3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16		cdlemk3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17		cdlemk3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18		cdlemk3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
19		cdlemk3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
20		cdlemk3.u1	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
21	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk26b-3 42102	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
22	1, 5, 9, 10, 21	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
23		simp11 1222	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	2	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
25		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ∈ 𝑇)
26		simp123 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
27	24, 25, 26	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
28	6	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
29		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑎 ∈ 𝑇)
30	28, 29	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇))
31		simp13l 1307	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
32		simp13r 1308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
33	3	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34		simp3l1 1297	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
35	32, 33, 34	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
36	7	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
37		simp3r1 1300	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵))
38	36, 37	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
39		simp3r3 1302	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺))
40	39	necomd 3013	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑎))
41		simp3r2 1301	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹))
42		simp3l2 1298	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹))
43	40, 41, 42	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑎) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹)))
44		simp3l3 1299	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))
45	44	necomd 3013	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑏))
46	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk27-3 42104	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑎) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑏))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
47	23, 27, 30, 31, 35, 38, 43, 45, 46	syl332anc 1428	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
48	47	3exp 1137	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ((𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))))
49	48	ralrimivv 3206	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ∀𝑏 ∈ 𝑇 ∀𝑎 ∈ 𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)))
50		neeq1 3020	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
51		fveq2 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑅‘𝑏) = (𝑅‘𝑎))
52	51	neeq1d 3017	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹)))
53	51	neeq1d 3017	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ↔ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺)))
54	50, 52, 53	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ↔ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺))))
55		oveq1 7434	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
56	54, 55	reusv3 5370	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇) → (∀𝑏 ∈ 𝑇 ∀𝑎 ∈ 𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺))))
57	56	biimpd 232	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇) → (∀𝑏 ∈ 𝑇 ∀𝑎 ∈ 𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑎) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)) → ∃𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺))))
58	22, 49, 57	sylc 66	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ∃𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   I cid 5548  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6546  ℩crio 7383  (class class class)co 7427   ∈ cmpo 7429  Basecbs 17399  lecple 17447  joincjn 18497  meetcmee 18498  Atomscatm 40460  HLchlt 40547  LHypclh 41181  LTrncltrn 41298  trLctrl 41355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-riotaBAD 40150

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-undef 8301  df-map 8860  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696  df-lvols 40697  df-lines 40698  df-psubsp 40700  df-pmap 40701  df-padd 40993  df-lhyp 41185  df-laut 41186  df-ldil 41301  df-ltrn 41302  df-trl 41356

This theorem is used by:  cdlemk29-3  42108