Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk4.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk4.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk4.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk4.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk4.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk4.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk4.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk4.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’ (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
10 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’ (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))))βπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))))βπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
11 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(β©π§
β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (π(π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))))βπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π))))))πΊ))) = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (π(π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))))βπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π))))))πΊ))) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdlemk34 39419 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (π(π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))))βπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π))))))πΊ))) = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))))) |
13 | | cdlemk4.x |
. . . 4
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) |
14 | | cdlemk4.y |
. . . . . . . . . 10
β’ π = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) |
15 | | cdlemk4.z |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
16 | 15 | oveq1i 7368 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π))) = (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))) |
17 | 16 | oveq2i 7369 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) |
18 | 14, 17 | eqtri 2761 |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) |
19 | 18 | eqeq2i 2746 |
. . . . . . . 8
β’ ((π§βπ) = π β (π§βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))) |
20 | 19 | imbi2i 336 |
. . . . . . 7
β’ (((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π) β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))))) |
21 | 20 | ralbii 3093 |
. . . . . 6
β’
(βπ β
π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))))) |
22 | 21 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π§ β π β (βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))))) |
23 | 22 | riotabiia 7335 |
. . . 4
β’
(β©π§
β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))))) |
24 | 13, 23 | eqtri 2761 |
. . 3
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))))) |
25 | 12, 24 | eqtr4di 2791 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (π(π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))))βπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π))))))πΊ))) = π) |
26 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdlemk29-3 39420 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = (π(π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))))βπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π))))))πΊ))) β π) |
27 | 25, 26 | eqeltrrd 2835 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β π β π) |