Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk35 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk35 38042
 Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. cdlemk29-3 38041 with shorter hypotheses. (Contributed by NM, 18-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk4.l = (le‘𝐾)
cdlemk4.j = (join‘𝐾)
cdlemk4.m = (meet‘𝐾)
cdlemk4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk4.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk4.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk4.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏))))
cdlemk4.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk35 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑋𝑇)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑏,   ,𝑏,𝑧   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏,𝑧   𝐾,𝑏,𝑧   𝑁,𝑏,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk35
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemk4.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemk4.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 cdlemk4.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 cdlemk4.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
5 cdlemk4.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemk4.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemk4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemk4.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2821 . . . 4 (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹)))))) = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
10 eqid 2821 . . . 4 (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((((𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))‘𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑)))))) = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((((𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))‘𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
11 eqid 2821 . . . 4 (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏(𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((((𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))‘𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))𝐺))) = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏(𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((((𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))‘𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))𝐺)))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cdlemk34 38040 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏(𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((((𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))‘𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))𝐺))) = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏)))))))
13 cdlemk4.x . . . 4 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
14 cdlemk4.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏))))
15 cdlemk4.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
1615oveq1i 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏))) = (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏)))
1716oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏)))) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏))))
1814, 17eqtri 2844 . . . . . . . . 9 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏))))
1918eqeq2i 2834 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑃) = 𝑌 ↔ (𝑧𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
2019imbi2i 338 . . . . . . 7 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏))))))
2120ralbii 3165 . . . . . 6 (∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏))))))
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑧𝑇 → (∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏)))))))
2322riotabiia 7128 . . . 4 (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)) = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏))))))
2413, 23eqtri 2844 . . 3 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝑏))))))
2512, 24syl6eqr 2874 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏(𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((((𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))‘𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))𝐺))) = 𝑋)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cdlemk29-3 38041 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏(𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((((𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))‘𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))𝐺))) ∈ 𝑇)
2725, 26eqeltrrd 2914 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑋𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139   I cid 5454  ◡ccnv 5549   ↾ cres 5552   ∘ ccom 5554  ‘cfv 6350  ℩crio 7107  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  Basecbs 16477  lecple 16566  joincjn 17548  meetcmee 17549  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231  trLctrl 37288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8402  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289 This theorem is referenced by:  cdlemk36  38043  cdlemk39  38046  cdlemk35s  38067
 Copyright terms: Public domain W3C validator