Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkfid2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkfid2N 38165
 Description: Lemma for cdlemkfid3N 38167. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkfid2N ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑍 = (𝑏𝑃))

Proof of Theorem cdlemkfid2N
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . 2 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
2 simp1r 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹 = 𝑁)
32fveq1d 6664 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐹𝑃) = (𝑁𝑃))
43oveq1d 7165 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
54oveq2d 7166 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
6 cdlemk5.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemk5.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
8 cdlemk5.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 cdlemk5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
10 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemk5.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdlemkfid1N 38163 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) = (𝑏𝑃))
15143adant1r 1174 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) = (𝑏𝑃))
165, 15eqtr3d 2861 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) = (𝑏𝑃))
171, 16syl5eq 2871 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑍 = (𝑏𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5053   I cid 5447  ◡ccnv 5542   ↾ cres 5545   ∘ ccom 5547  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  lecple 16575  joincjn 17557  meetcmee 17558  Atomscatm 36505  HLchlt 36592  LHypclh 37226  LTrncltrn 37343  trLctrl 37400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-riotaBAD 36195 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-undef 7936  df-map 8405  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-oposet 36418  df-ol 36420  df-oml 36421  df-covers 36508  df-ats 36509  df-atl 36540  df-cvlat 36564  df-hlat 36593  df-llines 36740  df-lplanes 36741  df-lvols 36742  df-lines 36743  df-psubsp 36745  df-pmap 36746  df-padd 37038  df-lhyp 37230  df-laut 37231  df-ldil 37346  df-ltrn 37347  df-trl 37401 This theorem is referenced by:  cdlemkfid3N  38167
 Copyright terms: Public domain W3C validator