Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkfid2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkfid2N 39432
Description: Lemma for cdlemkfid3N 39434. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkfid2N ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑍 = (π‘β€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem cdlemkfid2N
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . 2 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
2 simp1r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 = 𝑁)
32fveq1d 6845 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (π‘β€˜π‘ƒ))
43oveq1d 7373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
54oveq2d 7374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))))
6 cdlemk5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdlemk5.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemk5.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemk5.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 cdlemk5.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdlemkfid1N 39430 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) = (π‘β€˜π‘ƒ))
15143adant1r 1178 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) = (π‘β€˜π‘ƒ))
165, 15eqtr3d 2775 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) = (π‘β€˜π‘ƒ))
171, 16eqtrid 2785 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑍 = (π‘β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8770  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668
This theorem is referenced by:  cdlemkfid3N  39434
  Copyright terms: Public domain W3C validator