Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΊ β π) |
2 | | cdlemk5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
3 | 2 | cdlemk41 39429 |
. . 3
β’ (πΊ β π β β¦πΊ / πβ¦π = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))) |
4 | 1, 3 | syl 17 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β β¦πΊ / πβ¦π = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))) |
5 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π)) |
6 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
7 | | simp21r 1292 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
8 | | simp23l 1295 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π) |
9 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπ) β (π
βπΉ)) |
10 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
11 | | cdlemk5.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
12 | | cdlemk5.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
13 | | cdlemk5.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
14 | | cdlemk5.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdlemk5.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
16 | | cdlemk5.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | | cdlemk5.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
18 | | cdlemk5.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
19 | | cdlemk5.z |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
20 | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 | cdlemkfid2N 39432 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π = (πβπ)) |
21 | 5, 6, 7, 8, 9, 10,
20 | syl132anc 1389 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π = (πβπ)) |
22 | 21 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π))) = ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) |
23 | 22 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))) |
24 | | simp1l 1198 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
25 | | simp23r 1296 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β ( I βΎ π΅)) |
26 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπ) β (π
βπΊ)) |
27 | 26 | necomd 2996 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΊ) β (π
βπ)) |
28 | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdlemkfid1N 39430 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) = (πΊβπ)) |
29 | 24, 8, 25, 1, 27, 10, 28 | syl132anc 1389 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) = (πΊβπ)) |
30 | 4, 23, 29 | 3eqtrd 2777 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ = π) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β β¦πΊ / πβ¦π = (πΊβπ)) |