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Theorem cdlemkfid3N 40322
Description: TODO: is this useful or should it be deleted? (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkfid3N ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = (πΊβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏   𝑔,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝑃(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐹(𝑔,𝑏)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑔,𝑏)   ∨ (𝑏)   𝐾(𝑔,𝑏)   ≀ (𝑔,𝑏)   ∧ (𝑏)   𝑁(𝑔,𝑏)   π‘Š(𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑏)
Proof of Theorem cdlemkfid3N
StepHypRef Expression
1 simp22 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
2 cdlemk5.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
32cdlemk41 40317 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑇 β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
41, 3syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
5 simp1 1134 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁))
6 simp21l 1288 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7 simp21r 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
8 simp23l 1292 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
9 simp31 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
10 simp33 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
11 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 cdlemk5.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 cdlemk5.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 cdlemk5.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
15 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
16 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
17 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 cdlemk5.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
2011, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemkfid2N 40320 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑍 = (π‘β€˜π‘ƒ))
215, 6, 7, 8, 9, 10, 20syl132anc 1386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑍 = (π‘β€˜π‘ƒ))
2221oveq1d 7429 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏))) = ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏))))
2322oveq2d 7430 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
24 simp1l 1195 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
25 simp23r 1293 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
26 simp32 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2726necomd 2991 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘))
2811, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemkfid1N 40318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
2924, 8, 25, 1, 27, 10, 28syl132anc 1386 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
304, 23, 293eqtrd 2771 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 = 𝑁) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = (πΊβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  β¦‹csb 3889   class class class wbr 5142   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  trLctrl 39555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556
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