Theorem chlimi 31321

Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
chlimi	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem chlimi

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch2 31310	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
3		nnex 12163	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
4		fex 7182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	3, 4	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝐻 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
7		feq1 6648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻 ↔ 𝐹:ℕ⟶𝐻))
8		breq1 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
9	7, 8	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
10	9	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
11	10	albidv 1922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
12	11	spcgv 3552	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
13		chlim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
14		breq2 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴))
15	14	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)))
16		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↔ 𝐴 ∈ 𝐻))
17	15, 16	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
18	13, 17	spcv 3561	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
19	12, 18	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
20	6, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
21	20	pm2.43b 55	. . 3 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
22	2, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
23	22	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ℕcn 12157   ⇝_𝑣 chli 31014   S_ℋ csh 31015   C_ℋ cch 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-map 8777  df-nn 12158  df-ch 31308

This theorem is referenced by:  hhsscms  31365  chintcli  31418  chscllem4  31727