Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chlimi 29027
 Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chlim.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
chlimi ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)

Proof of Theorem chlimi
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isch2 29016 . . . 4 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
21simprbi 500 . . 3 (𝐻C → ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 nnex 11634 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
4 fex 6967 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
53, 4mpan2 690 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹 ∈ V)
65adantr 484 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
7 feq1 6469 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻𝐹:ℕ⟶𝐻))
8 breq1 5034 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝑥))
97, 8anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥)))
109imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1110albidv 1921 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1211spcgv 3543 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
13 chlim.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
14 breq2 5035 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝐴))
1514anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴)))
16 eleq1 2877 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐻𝐴𝐻))
1715, 16imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
1813, 17spcv 3554 . . . . . 6 (∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
1912, 18syl6 35 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
206, 19syl 17 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
2120pm2.43b 55 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
222, 21syl 17 . 2 (𝐻C → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
23223impib 1113 1 ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5031  ⟶wf 6321  ℕcn 11628   ⇝𝑣 chli 28720   Sℋ csh 28721   Cℋ cch 28722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-map 8394  df-nn 11629  df-ch 29014 This theorem is referenced by:  hhsscms  29071  chintcli  29124  chscllem4  29433
 Copyright terms: Public domain W3C validator