HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chlimi 31254
Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chlim.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
chlimi ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)

Proof of Theorem chlimi
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isch2 31243 . . . 4 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
21simprbi 496 . . 3 (𝐻C → ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 nnex 12273 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
4 fex 7247 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
53, 4mpan2 691 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹 ∈ V)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
7 feq1 6715 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻𝐹:ℕ⟶𝐻))
8 breq1 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝑥))
97, 8anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥)))
109imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1110albidv 1919 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1211spcgv 3595 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
13 chlim.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
14 breq2 5146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝐴))
1514anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴)))
16 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐻𝐴𝐻))
1715, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
1813, 17spcv 3604 . . . . . 6 (∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
1912, 18syl6 35 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
206, 19syl 17 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
2120pm2.43b 55 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
222, 21syl 17 . 2 (𝐻C → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
23223impib 1116 1 ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  wf 6556  cn 12267  𝑣 chli 30947   S csh 30948   C cch 30949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-map 8869  df-nn 12268  df-ch 31241
This theorem is referenced by:  hhsscms  31298  chintcli  31351  chscllem4  31660
  Copyright terms: Public domain W3C validator