Theorem chlimi 29596

Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
chlimi	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem chlimi

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch2 29585	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
3		nnex 11979	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
4		fex 7102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	3, 4	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝐻 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
7		feq1 6581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻 ↔ 𝐹:ℕ⟶𝐻))
8		breq1 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
9	7, 8	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
10	9	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
11	10	albidv 1923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
12	11	spcgv 3535	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
13		chlim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
14		breq2 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴))
15	14	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)))
16		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↔ 𝐴 ∈ 𝐻))
17	15, 16	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
18	13, 17	spcv 3544	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
19	12, 18	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
20	6, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
21	20	pm2.43b 55	. . 3 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
22	2, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
23	22	3impib 1115	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ℕcn 11973   ⇝_𝑣 chli 29289   S_ℋ csh 29290   C_ℋ cch 29291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-map 8617  df-nn 11974  df-ch 29583

This theorem is referenced by:  hhsscms  29640  chintcli  29693  chscllem4  30002