Theorem chlimi 29315

Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chlim.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
chlimi	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem chlimi

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch2 29304	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
2	1	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
3		nnex 11836	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
4		fex 7042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	3, 4	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝐻 → 𝐹 ∈ V)
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
7		feq1 6526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻 ↔ 𝐹:ℕ⟶𝐻))
8		breq1 5056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
9	7, 8	anbi12d 634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
10	9	imbi1d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
11	10	albidv 1928	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
12	11	spcgv 3511	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ V → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
13		chlim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
14		breq2 5057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴))
15	14	anbi2d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)))
16		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↔ 𝐴 ∈ 𝐻))
17	15, 16	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
18	13, 17	spcv 3520	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
19	12, 18	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
20	6, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)))
21	20	pm2.43b 55	. . 3 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
22	2, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻))
23	22	3impib 1118	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089  ∀wal 1541   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   class class class wbr 5053  ⟶wf 6376  ℕcn 11830   ⇝_𝑣 chli 29008   S_ℋ csh 29009   C_ℋ cch 29010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-1cn 10787  ax-addcl 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-map 8510  df-nn 11831  df-ch 29302

This theorem is referenced by:  hhsscms  29359  chintcli  29412  chscllem4  29721