HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chlimi 31159
Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chlim.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
chlimi ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)

Proof of Theorem chlimi
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isch2 31148 . . . 4 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
21simprbi 495 . . 3 (𝐻C → ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 nnex 12265 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
4 fex 7242 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
53, 4mpan2 689 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹 ∈ V)
65adantr 479 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
7 feq1 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻𝐹:ℕ⟶𝐻))
8 breq1 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝑥))
97, 8anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥)))
109imbi1d 340 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1110albidv 1915 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1211spcgv 3581 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
13 chlim.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
14 breq2 5156 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝐴))
1514anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴)))
16 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐻𝐴𝐻))
1715, 16imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
1813, 17spcv 3590 . . . . . 6 (∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
1912, 18syl6 35 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
206, 19syl 17 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
2120pm2.43b 55 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
222, 21syl 17 . 2 (𝐻C → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
23223impib 1113 1 ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461   class class class wbr 5152  wf 6549  cn 12259  𝑣 chli 30852   S csh 30853   C cch 30854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-1cn 11212  ax-addcl 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-map 8856  df-nn 12260  df-ch 31146
This theorem is referenced by:  hhsscms  31203  chintcli  31256  chscllem4  31565
  Copyright terms: Public domain W3C validator