Theorem cjmuld 14928

Description: Complex conjugate distributes over multiplication. Proposition 10-3.4(c) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
readdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cjmuld	⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		readdd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		cjmul 14849	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℂcc 10868   · cmul 10875  ∗ccj 14803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-2 12034  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808

This theorem is referenced by:  abslem2  15047  sqreulem  15067  mul4sqlem  16650  plycjlem  25433  plyrecj  25436  cosargd  25759  dchrinv  26405  dipassr  29202  sigarac  44334