Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrecj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyrecj 24890
 Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))

Proof of Theorem plyrecj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13343 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
2 0re 10639 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
43coef2 24842 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
52, 4mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
65adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
7 elfznn0 13002 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
8 ffvelrn 6831 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 598 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
109recnd 10665 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
11 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 expcl 13450 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
1311, 7, 12syl2an 598 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
1410, 13mulcld 10657 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) ∈ ℂ)
151, 14fsumcj 15164 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥))))
1610, 13cjmuld 14579 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥))) = ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴𝑥))))
179cjred 14584 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) = ((coeff‘𝐹)‘𝑥))
18 cjexp 14508 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
1911, 7, 18syl2an 598 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(𝐴𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
2017, 19oveq12d 7158 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
2116, 20eqtrd 2833 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
2221sumeq2dv 15059 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
2315, 22eqtrd 2833 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
24 eqid 2798 . . . 4 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
253, 24coeid2 24850 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
2625fveq2d 6654 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹𝐴)) = (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴𝑥))))
27 cjcl 14463 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
283, 24coeid2 24850 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
2927, 28sylan2 595 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
3023, 26, 293eqtr4d 2843 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  ℂcc 10531  ℝcr 10532  0cc0 10533   · cmul 10538  ℕ0cn0 11892  ...cfz 12892  ↑cexp 13432  ∗ccj 14454  Σcsu 15041  Polycply 24795  coeffccoe 24797  degcdgr 24798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-0p 24288  df-ply 24799  df-coe 24801  df-dgr 24802 This theorem is referenced by:  plyreres  24893  aacjcl  24937
 Copyright terms: Public domain W3C validator