Theorem plyrecj 26248

Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyrecj	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))

Proof of Theorem plyrecj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13901	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
2		0re 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
4	3	coef2 26197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
5	2, 4	mpan2 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
7		elfznn0 13541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
8		ffvelcdm 7028	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11165	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		expcl 14007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 7, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
14	10, 13	mulcld 11157	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥)) ∈ ℂ)
15	1, 14	fsumcj 15738	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))))
16	10, 13	cjmuld 15149	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴↑𝑥))))
17	9	cjred 15154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) = ((coeff‘𝐹)‘𝑥))
18		cjexp 15078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
19	11, 7, 18	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(𝐴↑𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
20	17, 19	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴↑𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
21	16, 20	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
22	21	sumeq2dv 15630	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
23	15, 22	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
25	3, 24	coeid2 26205	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥)))
26	25	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))))
27		cjcl 15033	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
28	3, 24	coeid2 26205	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
29	27, 28	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
30	23, 26, 29	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031   · cmul 11036  ℕ₀cn0 12406  ...cfz 13428  ↑cexp 13989  ∗ccj 15024  Σcsu 15614  Polycply 26150  coeffccoe 26152  degcdgr 26153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-seq 13930  df-exp 13990  df-hash 14259  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15615  df-0p 25632  df-ply 26154  df-coe 26156  df-dgr 26157

This theorem is referenced by:  plyreres  26251  aacjcl  26296