MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrecj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyrecj 26164
Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))

Proof of Theorem plyrecj
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13941 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
2 0re 11217 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
43coef2 26115 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
52, 4mpan2 688 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
7 elfznn0 13597 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
8 ffvelcdm 7076 . . . . . . 7 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
109recnd 11243 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
11 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 expcl 14047 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
1311, 7, 12syl2an 595 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
1410, 13mulcld 11235 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯)) ∈ β„‚)
151, 14fsumcj 15759 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))))
1610, 13cjmuld 15171 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯))))
179cjred 15176 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯))
18 cjexp 15100 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯))
1911, 7, 18syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯))
2017, 19oveq12d 7422 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2116, 20eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2221sumeq2dv 15652 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2315, 22eqtrd 2766 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
24 eqid 2726 . . . 4 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
253, 24coeid2 26123 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯)))
2625fveq2d 6888 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))))
27 cjcl 15055 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
283, 24coeid2 26123 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2927, 28sylan2 592 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
3023, 26, 293eqtr4d 2776 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114  β„•0cn0 12473  ...cfz 13487  β†‘cexp 14029  βˆ—ccj 15046  Ξ£csu 15635  Polycply 26068  coeffccoe 26070  degcdgr 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-0p 25549  df-ply 26072  df-coe 26074  df-dgr 26075
This theorem is referenced by:  plyreres  26167  aacjcl  26212
  Copyright terms: Public domain W3C validator