MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrecj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyrecj 26234
Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
Proof of Theorem plyrecj
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13978 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
2 0re 11254 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
43coef2 26185 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
52, 4mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
65adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
7 elfznn0 13634 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
8 ffvelcdm 7096 . . . . . . 7 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 594 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
109recnd 11280 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
11 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 expcl 14084 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
1311, 7, 12syl2an 594 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
1410, 13mulcld 11272 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯)) ∈ β„‚)
151, 14fsumcj 15796 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))))
1610, 13cjmuld 15208 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯))))
179cjred 15213 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯))
18 cjexp 15137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯))
1911, 7, 18syl2an 594 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯))
2017, 19oveq12d 7444 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2116, 20eqtrd 2768 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2221sumeq2dv 15689 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2315, 22eqtrd 2768 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
24 eqid 2728 . . . 4 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
253, 24coeid2 26193 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯)))
2625fveq2d 6906 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))))
27 cjcl 15092 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
283, 24coeid2 26193 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2927, 28sylan2 591 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
3023, 26, 293eqtr4d 2778 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   Β· cmul 11151  β„•0cn0 12510  ...cfz 13524  β†‘cexp 14066  βˆ—ccj 15083  Ξ£csu 15672  Polycply 26138  coeffccoe 26140  degcdgr 26141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-0p 25619  df-ply 26142  df-coe 26144  df-dgr 26145
This theorem is referenced by:  plyreres  26237  aacjcl  26282
  Copyright terms: Public domain W3C validator