MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrecj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyrecj 25793
Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
Proof of Theorem plyrecj
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13938 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
2 0re 11216 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
43coef2 25745 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
52, 4mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
65adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„)
7 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
8 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 597 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
109recnd 11242 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
11 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 expcl 14045 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
1311, 7, 12syl2an 597 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
1410, 13mulcld 11234 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯)) ∈ β„‚)
151, 14fsumcj 15756 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))))
1610, 13cjmuld 15168 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯))))
179cjred 15173 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯))
18 cjexp 15097 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯))
1911, 7, 18syl2an 597 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯)) = ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯))
2017, 19oveq12d 7427 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((βˆ—β€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯)) Β· (βˆ—β€˜(𝐴↑π‘₯))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2116, 20eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2221sumeq2dv 15649 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(βˆ—β€˜(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2315, 22eqtrd 2773 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
24 eqid 2733 . . . 4 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
253, 24coeid2 25753 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯)))
2625fveq2d 6896 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· (𝐴↑π‘₯))))
27 cjcl 15052 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
283, 24coeid2 25753 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
2927, 28sylan2 594 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜π΄)↑π‘₯)))
3023, 26, 293eqtr4d 2783 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆ—ccj 15043  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  plyreres  25796  aacjcl  25840
  Copyright terms: Public domain W3C validator