Theorem plyrecj 25438

Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyrecj	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))

Proof of Theorem plyrecj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13691	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
2		0re 10978	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
4	3	coef2 25390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
5	2, 4	mpan2 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
7		elfznn0 13348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
8		ffvelrn 6956	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11004	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
11		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		expcl 13798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 7, 12	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
14	10, 13	mulcld 10996	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥)) ∈ ℂ)
15	1, 14	fsumcj 15520	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))))
16	10, 13	cjmuld 14930	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴↑𝑥))))
17	9	cjred 14935	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) = ((coeff‘𝐹)‘𝑥))
18		cjexp 14859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
19	11, 7, 18	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(𝐴↑𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
20	17, 19	oveq12d 7289	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴↑𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
21	16, 20	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
22	21	sumeq2dv 15413	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
23	15, 22	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
24		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
25	3, 24	coeid2 25398	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥)))
26	25	fveq2d 6775	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))))
27		cjcl 14814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
28	3, 24	coeid2 25398	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
29	27, 28	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
30	23, 26, 29	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  0cc0 10872   · cmul 10877  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13238  ↑cexp 13780  ∗ccj 14805  Σcsu 15395  Polycply 25343  coeffccoe 25345  degcdgr 25346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-0p 24832  df-ply 25347  df-coe 25349  df-dgr 25350

This theorem is referenced by:  plyreres  25441  aacjcl  25485