Theorem dipassr 30935

Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare dipass 30934). (Contributed by NM, 22-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipass.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipass.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ipass.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipassr	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipassr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anrot 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2		ipass.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		ipass.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		ipass.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	2, 3, 4	dipass 30934	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴) = (𝐵 · (𝐶𝑃𝐴)))
6	1, 5	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴) = (𝐵 · (𝐶𝑃𝐴)))
7	6	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))))
8		phnv 30903	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
9		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
10	2, 3	nvscl 30715	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
11	10	3adant3r1 1184	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
12		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13	2, 4	dipcj 30803	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
15	8, 14	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
16		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	2, 4	dipcl 30801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	17	3com23 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
19	18	3adant3r2 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
20	16, 19	cjmuld 15177	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
21	2, 4	dipcj 30803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
22	21	3com23 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
23	22	3adant3r2 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
24	23	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((∗‘𝐵) · (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
25	20, 24	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
26	8, 25	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
27	7, 15, 26	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030   · cmul 11037  ∗ccj 15052  NrmCVeccnv 30673  BaseSetcba 30675   ·_𝑠OLD cns 30676  ·_𝑖OLDcdip 30789  CPreHil_OLDccphlo 30901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-t1 23292  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ph 30902

This theorem is referenced by:  dipassr2  30936