MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipassr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipassr 28540
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare dipass 28539). (Contributed by NM, 22-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipass.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipass.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ipass.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipassr ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipassr
StepHypRef Expression
1 3anrot 1094 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋))
2 ipass.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ipass.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 ipass.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
52, 3, 4dipass 28539 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴) = (𝐵 · (𝐶𝑃𝐴)))
61, 5sylan2b 593 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → ((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴) = (𝐵 · (𝐶𝑃𝐴)))
76fveq2d 6671 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))))
8 phnv 28508 . . 3 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
9 simpl 483 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
102, 3nvscl 28320 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
11103adant3r1 1176 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
12 simpr1 1188 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
132, 4dipcj 28408 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
149, 11, 12, 13syl3anc 1365 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
158, 14sylan 580 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
16 simpr2 1189 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → 𝐵 ∈ ℂ)
172, 4dipcl 28406 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18173com23 1120 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
19183adant3r2 1177 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
2016, 19cjmuld 14570 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
212, 4dipcj 28408 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
22213com23 1120 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
23223adant3r2 1177 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
2423oveq2d 7164 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → ((∗‘𝐵) · (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
2520, 24eqtrd 2861 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
268, 25sylan 580 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
277, 15, 263eqtr3d 2869 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524   · cmul 10531  ccj 14445  NrmCVeccnv 28278  BaseSetcba 28280   ·𝑠OLD cns 28281  ·𝑖OLDcdip 28394  CPreHilOLDccphlo 28506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-t1 21841  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-grpo 28187  df-gid 28188  df-ginv 28189  df-gdiv 28190  df-ablo 28239  df-vc 28253  df-nv 28286  df-va 28289  df-ba 28290  df-sm 28291  df-0v 28292  df-vs 28293  df-nmcv 28294  df-ims 28295  df-dip 28395  df-ph 28507
This theorem is referenced by:  dipassr2  28541
  Copyright terms: Public domain W3C validator