MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abslem2 15039
Description: Lemma involving absolute values. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abslem2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (2 · (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem abslem2
StepHypRef Expression
1 absvalsq 14980 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3 abscl 14978 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 10991 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
65sqvald 13849 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
72, 6eqtr3d 2780 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
87oveq1d 7283 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
9 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
109cjcld 14895 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
11 abs00 14989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
1211necon3bid 2988 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
1312biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
149, 10, 5, 13div23d 11776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴)))
155, 5, 13divcan3d 11744 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
168, 14, 153eqtr3d 2786 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
1716fveq2d 6771 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (∗‘(abs‘𝐴)))
189, 5, 13divcld 11739 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
1918, 10cjmuld 14920 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · (∗‘(∗‘𝐴))))
209cjcjd 14898 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
2120oveq2d 7284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴))
2219, 21eqtrd 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴))
234cjred 14925 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2417, 22, 233eqtr3d 2786 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) = (abs‘𝐴))
2524, 16oveq12d 7286 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
2652timesd 12204 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
2725, 26eqtr4d 2781 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (2 · (abs‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cfv 6427  (class class class)co 7268  cc 10857  cr 10858  0cc0 10859   + caddc 10862   · cmul 10864   / cdiv 11620  2c2 12016  cexp 13770  ccj 14795  abscabs 14933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-sup 9189  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-seq 13710  df-exp 13771  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935
This theorem is referenced by:  bcsiALT  29527
  Copyright terms: Public domain W3C validator