Theorem abslem2 15236

Description: Lemma involving absolute values. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abslem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (2 · (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem abslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsq 15177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
2	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3		abscl 15175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	sqvald 14058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
7	2, 6	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
8	7	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
9		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	cjcld 15093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
11		abs00 15186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
12	11	necon3bid 2984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
13	12	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
14	9, 10, 5, 13	div23d 11977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴)))
15	5, 5, 13	divcan3d 11945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
16	8, 14, 15	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
17	16	fveq2d 6851	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (∗‘(abs‘𝐴)))
18	9, 5, 13	divcld 11940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18, 10	cjmuld 15118	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · (∗‘(∗‘𝐴))))
20	9	cjcjd 15096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
21	20	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴))
23	4	cjred 15123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
24	17, 22, 23	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) = (abs‘𝐴))
25	24, 16	oveq12d 7380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
26	5	2timesd 12405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
27	25, 26	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (2 · (abs‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060   + caddc 11063   · cmul 11065   / cdiv 11821  2c2 12217  ↑cexp 13977  ∗ccj 14993  abscabs 15131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133

This theorem is referenced by:  bcsiALT  30184