Theorem abslem2 15427

Description: Lemma involving absolute values. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abslem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (2 · (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem abslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsq 15367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
2	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3		abscl 15365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	sqvald 14207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
7	2, 6	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
8	7	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
9		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	cjcld 15283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
11		abs00 15376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
12	11	necon3bid 3001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
13	12	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
14	9, 10, 5, 13	div23d 12053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴)))
15	5, 5, 13	divcan3d 12021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
16	8, 14, 15	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
17	16	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (∗‘(abs‘𝐴)))
18	9, 5, 13	divcld 12016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18, 10	cjmuld 15308	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · (∗‘(∗‘𝐴))))
20	9	cjcjd 15286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
21	20	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴))
23	4	cjred 15313	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
24	17, 22, 23	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) = (abs‘𝐴))
25	24, 16	oveq12d 7434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
26	5	2timesd 12512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
27	25, 26	eqtr4d 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / (abs‘𝐴))) · 𝐴) + ((𝐴 / (abs‘𝐴)) · (∗‘𝐴))) = (2 · (abs‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125   + caddc 11128   · cmul 11130   / cdiv 11896  2c2 12320  ↑cexp 14125  ∗ccj 15183  abscabs 15321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  bcsiALT  31644