Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarac 41961
Description: Signed area is anticommutative. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
sigarac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarac
StepHypRef Expression
1 sigar . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
21sigarval 41959 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
3 cjcl 14252 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
43adantl 475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
5 simpl 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5cjmuld 14368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(∗‘𝐵)) · (∗‘𝐴)))
7 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
87cjcjd 14346 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
98oveq1d 6937 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘(∗‘𝐵)) · (∗‘𝐴)) = (𝐵 · (∗‘𝐴)))
105cjcld 14343 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
117, 10mulcomd 10398 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐵))
126, 9, 113eqtrrd 2818 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) = (∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
1312fveq2d 6450 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) = (ℑ‘(∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴))))
144, 5mulcld 10397 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐵) · 𝐴) ∈ ℂ)
1514imcjd 14352 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴))) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
162, 13, 153eqtrd 2817 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
171sigarval 41959 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
1817ancoms 452 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
1918negeqd 10616 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
2016, 19eqtr4d 2816 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  cc 10270   · cmul 10277  -cneg 10607  ccj 14243  cim 14245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248
This theorem is referenced by:  sigaras  41964  sigarms  41965  sigarperm  41969  sigariz  41972  sigarcol  41973  sigaradd  41975  cevathlem2  41977
  Copyright terms: Public domain W3C validator