Theorem sigarac 44771

Description: Signed area is anticommutative. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarac	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2	1	sigarval 44769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
3		cjcl 14920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
4	3	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
5		simpl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5	cjmuld 15036	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(∗‘𝐵)) · (∗‘𝐴)))
7		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	cjcjd 15014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
9	8	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘(∗‘𝐵)) · (∗‘𝐴)) = (𝐵 · (∗‘𝐴)))
10	5	cjcld 15011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcomd 11106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐵))
12	6, 9, 11	3eqtrrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) = (∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
13	12	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) = (ℑ‘(∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴))))
14	4, 5	mulcld 11105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐵) · 𝐴) ∈ ℂ)
15	14	imcjd 15020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴))) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
16	2, 13, 15	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
17	1	sigarval 44769	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
18	17	ancoms 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
19	18	negeqd 11325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
20	16, 19	eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ℂcc 10979   · cmul 10986  -cneg 11316  ∗ccj 14911  ℑcim 14913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-2 12146  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916

This theorem is referenced by:  sigaras  44774  sigarms  44775  sigarperm  44779  sigariz  44782  sigarcol  44783  sigaradd  44785  cevathlem2  44787