Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarac 42986
Description: Signed area is anticommutative. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
sigarac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarac
StepHypRef Expression
1 sigar . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
21sigarval 42984 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
3 cjcl 14452 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
5 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5cjmuld 14568 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(∗‘𝐵)) · (∗‘𝐴)))
7 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
87cjcjd 14546 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
98oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘(∗‘𝐵)) · (∗‘𝐴)) = (𝐵 · (∗‘𝐴)))
105cjcld 14543 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
117, 10mulcomd 10650 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐵))
126, 9, 113eqtrrd 2858 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) = (∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
1312fveq2d 6667 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) = (ℑ‘(∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴))))
144, 5mulcld 10649 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐵) · 𝐴) ∈ ℂ)
1514imcjd 14552 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘((∗‘𝐵) · 𝐴))) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
162, 13, 153eqtrd 2857 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
171sigarval 42984 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
1817ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
1918negeqd 10868 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = -(ℑ‘((∗‘𝐵) · 𝐴)))
2016, 19eqtr4d 2856 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cc 10523   · cmul 10530  -cneg 10859  ccj 14443  cim 14445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448
This theorem is referenced by:  sigaras  42989  sigarms  42990  sigarperm  42994  sigariz  42997  sigarcol  42998  sigaradd  43000  cevathlem2  43002
  Copyright terms: Public domain W3C validator