MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycjlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plycjlem 26027
Description: Lemma for plycj 26028 and coecj 26029. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
plycj.2 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
plycjlem.3 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
plycjlem (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,π‘˜)
Proof of Theorem plycjlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
2 cjcl 15057 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
32adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
4 cjf 15056 . . . . . 6 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
54a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
65feqmptd 6960 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ— = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘§)))
7 fzfid 13943 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
8 plycjlem.3 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
98coef3 25982 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
11 elfznn0 13599 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1310, 11, 12syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
14 expcl 14050 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1511, 14sylan2 592 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1615adantll 711 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1713, 16mulcld 11239 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
187, 17fsumcl 15684 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
19 plycj.1 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
208, 19coeid 25988 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
21 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑧 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
2218, 20, 6, 21fmptco 7129 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))))
23 oveq1 7419 . . . . . . 7 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))
2423oveq2d 7428 . . . . . 6 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2524sumeq2sdv 15655 . . . . 5 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2625fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
273, 6, 22, 26fmptco 7129 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))))
281, 27eqtrid 2783 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))))
29 fzfid 13943 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
309adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3130, 11, 12syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
32 expcl 14050 . . . . . . 7 (((βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
333, 11, 32syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
3431, 33mulcld 11239 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
3529, 34fsumcj 15761 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
3631, 33cjmuld 15173 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
37 fvco3 6990 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
3830, 11, 37syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
39 cjexp 15102 . . . . . . . . 9 (((βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜))
403, 11, 39syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜))
41 cjcj 15092 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§)) = 𝑧)
4241ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§)) = 𝑧)
4342oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜) = (π‘§β†‘π‘˜))
4440, 43eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
4538, 44oveq12d 7430 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
4636, 45eqtr4d 2774 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4746sumeq2dv 15654 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4835, 47eqtrd 2771 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4948mpteq2dva 5248 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
5028, 49eqtrd 2771 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  0cc0 11113   Β· cmul 11118  β„•0cn0 12477  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  βˆ—ccj 15048  Ξ£csu 15637  Polycply 25934  coeffccoe 25936  degcdgr 25937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-0p 25420  df-ply 25938  df-coe 25940  df-dgr 25941
This theorem is referenced by:  plycj  26028  coecj  26029
  Copyright terms: Public domain W3C validator