Theorem plycjlem 25637

Description: Lemma for plycj 25638 and coecj 25639. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlem.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
plycjlem	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 14990	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4		cjf 14989	. . . . . 6 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗:ℂ⟶ℂ)
6	5	feqmptd 6910	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7		fzfid 13878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
8		plycjlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
9	8	coef3 25593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11		elfznn0 13534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12		ffvelcdm 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14		expcl 13985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
15	11, 14	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
16	15	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
18	7, 17	fsumcl 15618	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
19		plycj.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
20	8, 19	coeid 25599	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
21		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
22	18, 20, 6, 21	fmptco 7075	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))))
23		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥↑𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
24	23	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
25	24	sumeq2sdv 15589	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
26	25	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
27	3, 6, 22, 26	fmptco 7075	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
28	1, 27	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
29		fzfid 13878	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
30	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	30, 11, 12	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
32		expcl 13985	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
33	3, 11, 32	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
34	31, 33	mulcld 11175	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
35	29, 34	fsumcj 15695	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
36	31, 33	cjmuld 15106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
37		fvco3 6940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
38	30, 11, 37	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
39		cjexp 15035	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
40	3, 11, 39	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
41		cjcj 15025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
42	41	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
43	42	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
44	40, 43	eqtr2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
45	38, 44	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
46	36, 45	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
47	46	sumeq2dv 15588	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
48	35, 47	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
49	48	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
50	28, 49	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051   · cmul 11056  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13424  ↑cexp 13967  ∗ccj 14981  Σcsu 15570  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552

This theorem is referenced by:  plycj  25638  coecj  25639