MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycjlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plycjlem 26026
Description: Lemma for plycj 26027 and coecj 26028. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
plycj.2 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
plycjlem.3 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
plycjlem (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,π‘˜)
Proof of Theorem plycjlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
2 cjcl 15056 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
32adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
4 cjf 15055 . . . . . 6 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
54a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
65feqmptd 6959 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ— = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘§)))
7 fzfid 13942 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
8 plycjlem.3 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
98coef3 25981 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
11 elfznn0 13598 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12 ffvelcdm 7082 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1310, 11, 12syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
14 expcl 14049 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1511, 14sylan2 591 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1615adantll 710 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1713, 16mulcld 11238 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
187, 17fsumcl 15683 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
19 plycj.1 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
208, 19coeid 25987 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
21 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑧 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
2218, 20, 6, 21fmptco 7128 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))))
23 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))
2423oveq2d 7427 . . . . . 6 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2524sumeq2sdv 15654 . . . . 5 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2625fveq2d 6894 . . . 4 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
273, 6, 22, 26fmptco 7128 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))))
281, 27eqtrid 2782 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))))
29 fzfid 13942 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
309adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3130, 11, 12syl2an 594 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
32 expcl 14049 . . . . . . 7 (((βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
333, 11, 32syl2an 594 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
3431, 33mulcld 11238 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
3529, 34fsumcj 15760 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
3631, 33cjmuld 15172 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
37 fvco3 6989 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
3830, 11, 37syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
39 cjexp 15101 . . . . . . . . 9 (((βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜))
403, 11, 39syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜))
41 cjcj 15091 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§)) = 𝑧)
4241ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§)) = 𝑧)
4342oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜) = (π‘§β†‘π‘˜))
4440, 43eqtr2d 2771 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
4538, 44oveq12d 7429 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
4636, 45eqtr4d 2773 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4746sumeq2dv 15653 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4835, 47eqtrd 2770 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4948mpteq2dva 5247 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
5028, 49eqtrd 2770 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12476  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  βˆ—ccj 15047  Ξ£csu 15636  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  plycj  26027  coecj  26028
  Copyright terms: Public domain W3C validator