MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycjlem 26330
Description: Lemma for plycj 26331 and coecj 26332. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycjlem.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycjlem.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlem.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
plycjlem (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycjlem.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2 cjcl 15140 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
32adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4 cjf 15139 . . . . . 6 ∗:ℂ⟶ℂ
54a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗:ℂ⟶ℂ)
65feqmptd 6976 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7 fzfid 14010 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
8 plycjlem.3 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝐹)
98coef3 26285 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11 elfznn0 13656 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 ffvelcdm 7100 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1310, 11, 12syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
14 expcl 14116 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1511, 14sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1615adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1713, 16mulcld 11278 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
187, 17fsumcl 15765 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
19 plycjlem.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
208, 19coeid 26291 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
21 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
2218, 20, 6, 21fmptco 7148 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))))
23 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
2423oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
2524sumeq2sdv 15735 . . . . 5 (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
2625fveq2d 6910 . . . 4 (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
273, 6, 22, 26fmptco 7148 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
281, 27eqtrid 2786 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
29 fzfid 14010 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
309adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3130, 11, 12syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
32 expcl 14116 . . . . . . 7 (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
333, 11, 32syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
3431, 33mulcld 11278 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
3529, 34fsumcj 15842 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
3631, 33cjmuld 15256 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
37 fvco3 7007 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
3830, 11, 37syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
39 cjexp 15185 . . . . . . . . 9 (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
403, 11, 39syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
41 cjcj 15175 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
4241ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
4342oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧𝑘))
4440, 43eqtr2d 2775 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
4538, 44oveq12d 7448 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
4636, 45eqtr4d 2777 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4746sumeq2dv 15734 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4835, 47eqtrd 2774 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4948mpteq2dva 5247 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
5028, 49eqtrd 2774 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cmpt 5230  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157  0cn0 12523  ...cfz 13543  cexp 14098  ccj 15131  Σcsu 15718  Polycply 26237  coeffccoe 26239  degcdgr 26240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-0p 25718  df-ply 26241  df-coe 26243  df-dgr 26244
This theorem is referenced by:  plycj  26331  coecj  26332  plycjOLD  26333  coecjOLD  26334
  Copyright terms: Public domain W3C validator