Theorem plycjlem 25342

Description: Lemma for plycj 25343 and coecj 25344. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlem.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
plycjlem	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 14744	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4		cjf 14743	. . . . . 6 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗:ℂ⟶ℂ)
6	5	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7		fzfid 13621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
8		plycjlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
9	8	coef3 25298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11		elfznn0 13278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12		ffvelrn 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14		expcl 13728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
15	11, 14	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
16	15	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
18	7, 17	fsumcl 15373	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
19		plycj.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
20	8, 19	coeid 25304	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
21		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
22	18, 20, 6, 21	fmptco 6983	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))))
23		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥↑𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
24	23	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
25	24	sumeq2sdv 15344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
26	25	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
27	3, 6, 22, 26	fmptco 6983	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
28	1, 27	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
29		fzfid 13621	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
30	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	30, 11, 12	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
32		expcl 13728	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
33	3, 11, 32	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
34	31, 33	mulcld 10926	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
35	29, 34	fsumcj 15450	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
36	31, 33	cjmuld 14860	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
37		fvco3 6849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
38	30, 11, 37	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
39		cjexp 14789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
40	3, 11, 39	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
41		cjcj 14779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
42	41	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
43	42	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
44	40, 43	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
45	38, 44	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
46	36, 45	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
47	46	sumeq2dv 15343	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
48	35, 47	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
49	48	mpteq2dva 5170	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
50	28, 49	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  ∗ccj 14735  Σcsu 15325  Polycply 25250  coeffccoe 25252  degcdgr 25253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-0p 24739  df-ply 25254  df-coe 25256  df-dgr 25257

This theorem is referenced by:  plycj  25343  coecj  25344