Theorem plycjlem 26336

Description: Lemma for plycj 26337 and coecj 26338. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlem.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
plycjlem	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 15154	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4		cjf 15153	. . . . . 6 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗:ℂ⟶ℂ)
6	5	feqmptd 6990	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7		fzfid 14024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
8		plycjlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
9	8	coef3 26291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11		elfznn0 13677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12		ffvelcdm 7115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14		expcl 14130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
15	11, 14	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
16	15	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
18	7, 17	fsumcl 15781	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
19		plycj.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
20	8, 19	coeid 26297	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
21		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
22	18, 20, 6, 21	fmptco 7163	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))))
23		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥↑𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
24	23	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
25	24	sumeq2sdv 15751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
26	25	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
27	3, 6, 22, 26	fmptco 7163	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
28	1, 27	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
29		fzfid 14024	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
30	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	30, 11, 12	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
32		expcl 14130	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
33	3, 11, 32	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
34	31, 33	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
35	29, 34	fsumcj 15858	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
36	31, 33	cjmuld 15270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
37		fvco3 7021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
38	30, 11, 37	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
39		cjexp 15199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
40	3, 11, 39	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
41		cjcj 15189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
42	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
43	42	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
44	40, 43	eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
45	38, 44	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
46	36, 45	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
47	46	sumeq2dv 15750	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
48	35, 47	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
49	48	mpteq2dva 5266	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
50	28, 49	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5249   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  ∗ccj 15145  Σcsu 15734  Polycply 26243  coeffccoe 26245  degcdgr 26246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-0p 25724  df-ply 26247  df-coe 26249  df-dgr 26250

This theorem is referenced by:  plycj  26337  coecj  26338