MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycjlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plycjlem 25790
Description: Lemma for plycj 25791 and coecj 25792. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
plycj.2 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
plycjlem.3 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
plycjlem (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,π‘˜)
Proof of Theorem plycjlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
2 cjcl 15052 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
32adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
4 cjf 15051 . . . . . 6 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
54a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
65feqmptd 6961 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ— = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘§)))
7 fzfid 13938 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
8 plycjlem.3 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
98coef3 25746 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
11 elfznn0 13594 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1310, 11, 12syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
14 expcl 14045 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1511, 14sylan2 594 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1615adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1713, 16mulcld 11234 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
187, 17fsumcl 15679 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
19 plycj.1 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
208, 19coeid 25752 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
21 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑧 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
2218, 20, 6, 21fmptco 7127 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))))
23 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))
2423oveq2d 7425 . . . . . 6 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2524sumeq2sdv 15650 . . . . 5 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
2625fveq2d 6896 . . . 4 (π‘₯ = (βˆ—β€˜π‘§) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) = (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
273, 6, 22, 26fmptco 7127 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))))
281, 27eqtrid 2785 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))))
29 fzfid 13938 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
309adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3130, 11, 12syl2an 597 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
32 expcl 14045 . . . . . . 7 (((βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
333, 11, 32syl2an 597 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
3431, 33mulcld 11234 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
3529, 34fsumcj 15756 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
3631, 33cjmuld 15168 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
37 fvco3 6991 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
3830, 11, 37syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
39 cjexp 15097 . . . . . . . . 9 (((βˆ—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜))
403, 11, 39syl2an 597 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜))
41 cjcj 15087 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§)) = 𝑧)
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§)) = 𝑧)
4342oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ—β€˜(βˆ—β€˜π‘§))β†‘π‘˜) = (π‘§β†‘π‘˜))
4440, 43eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))
4538, 44oveq12d 7427 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (βˆ—β€˜((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))))
4636, 45eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4746sumeq2dv 15649 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(βˆ—β€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4835, 47eqtrd 2773 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
4948mpteq2dva 5249 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· ((βˆ—β€˜π‘§)β†‘π‘˜)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
5028, 49eqtrd 2773 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆ—ccj 15043  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  plycj  25791  coecj  25792
  Copyright terms: Public domain W3C validator