MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycjlem 24370
Description: Lemma for plycj 24371 and coecj 24372. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlem.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
plycjlem (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2 cjcl 14183 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
32adantl 474 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4 cjf 14182 . . . . . 6 ∗:ℂ⟶ℂ
54a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗:ℂ⟶ℂ)
65feqmptd 6473 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7 fzfid 13024 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
8 plycjlem.3 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝐹)
98coef3 24326 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
109adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11 elfznn0 12684 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 ffvelrn 6582 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1310, 11, 12syl2an 590 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
14 expcl 13129 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1511, 14sylan2 587 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1615adantll 706 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1713, 16mulcld 10348 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
187, 17fsumcl 14802 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
19 plycj.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
208, 19coeid 24332 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
21 fveq2 6410 . . . . 5 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
2218, 20, 6, 21fmptco 6622 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))))
23 oveq1 6884 . . . . . . 7 (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
2423oveq2d 6893 . . . . . 6 (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
2524sumeq2sdv 14773 . . . . 5 (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
2625fveq2d 6414 . . . 4 (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
273, 6, 22, 26fmptco 6622 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
281, 27syl5eq 2844 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
29 fzfid 13024 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
309adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3130, 11, 12syl2an 590 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
32 expcl 13129 . . . . . . 7 (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
333, 11, 32syl2an 590 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
3431, 33mulcld 10348 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
3529, 34fsumcj 14877 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
3631, 33cjmuld 14299 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
37 fvco3 6499 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
3830, 11, 37syl2an 590 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
39 cjexp 14228 . . . . . . . . 9 (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
403, 11, 39syl2an 590 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
41 cjcj 14218 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
4241ad2antlr 719 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
4342oveq1d 6892 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧𝑘))
4440, 43eqtr2d 2833 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
4538, 44oveq12d 6895 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
4636, 45eqtr4d 2835 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4746sumeq2dv 14771 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4835, 47eqtrd 2832 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4948mpteq2dva 4936 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
5028, 49eqtrd 2832 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cmpt 4921  ccom 5315  wf 6096  cfv 6100  (class class class)co 6877  cc 10221  0cc0 10223   · cmul 10228  0cn0 11577  ...cfz 12577  cexp 13111  ccj 14174  Σcsu 14754  Polycply 24278  coeffccoe 24280  degcdgr 24281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301  ax-addf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-pm 8097  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-sup 8589  df-inf 8590  df-oi 8656  df-card 9050  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-rp 12072  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-fl 12845  df-seq 13053  df-exp 13112  df-hash 13368  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-0p 23775  df-ply 24282  df-coe 24284  df-dgr 24285
This theorem is referenced by:  plycj  24371  coecj  24372
  Copyright terms: Public domain W3C validator