Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvreacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvreacos 37088
Description: Real derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvreacos (ℝ D (arccos β†Ύ (-1(,)1))) = (π‘₯ ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))

Proof of Theorem dvreacos
StepHypRef Expression
1 acosf 26761 . . . . . 6 arccos:β„‚βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ arccos:β„‚βŸΆβ„‚)
3 ioossre 13391 . . . . . . 7 (-1(,)1) βŠ† ℝ
4 ax-resscn 11169 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
53, 4sstri 3986 . . . . . 6 (-1(,)1) βŠ† β„‚
65a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (-1(,)1) βŠ† β„‚)
72, 6feqresmpt 6955 . . . 4 (⊀ β†’ (arccos β†Ύ (-1(,)1)) = (π‘₯ ∈ (-1(,)1) ↦ (arccosβ€˜π‘₯)))
87oveq2d 7421 . . 3 (⊀ β†’ (ℝ D (arccos β†Ύ (-1(,)1))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (-1(,)1) ↦ (arccosβ€˜π‘₯))))
9 eqid 2726 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
10 reelprrecn 11204 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
1110a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
129recld2 24685 . . . . . 6 ℝ ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))
13 neg1rr 12331 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
14 iocmnfcld 24640 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]-1) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (-∞(,]-1) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
16 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
17 icopnfcld 24639 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ β†’ (1[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
19 uncld 22900 . . . . . . . 8 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))) β†’ ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
2015, 18, 19mp2an 689 . . . . . . 7 ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
219tgioo2 24674 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2221fveq2i 6888 . . . . . . 7 (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) = (Clsdβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
2320, 22eleqtri 2825 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
24 restcldr 23033 . . . . . 6 ((ℝ ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))) β†’ ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2512, 23, 24mp2an 689 . . . . 5 ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))
269cnfldtopon 24654 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2726toponunii 22773 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2827cldopn 22890 . . . . 5 (((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2925, 28mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
30 incom 4196 . . . . . 6 (ℝ ∩ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)))) = ((β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31 eqid 2726 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) = (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)))
3231asindmre 37084 . . . . . 6 ((β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = (-1(,)1)
3330, 32eqtri 2754 . . . . 5 (ℝ ∩ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1)
3433a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (ℝ ∩ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1))
35 eldifi 4121 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
36 acoscl 26762 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (arccosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3735, 36syl 17 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) β†’ (arccosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3837adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)))) β†’ (arccosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
39 ovexd 7440 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)))) β†’ (-1 / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))) ∈ V)
40 difssd 4127 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) βŠ† β„‚)
412, 40feqresmpt 6955 . . . . . 6 (⊀ β†’ (arccos β†Ύ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞)))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ↦ (arccosβ€˜π‘₯)))
4241oveq2d 7421 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (arccos β†Ύ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))))) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ↦ (arccosβ€˜π‘₯))))
4331dvacos 37086 . . . . 5 (β„‚ D (arccos β†Ύ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ↦ (-1 / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))
4442, 43eqtr3di 2781 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ↦ (arccosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– ((-∞(,]-1) βˆͺ (1[,)+∞))) ↦ (-1 / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))))))
459, 11, 29, 34, 38, 39, 44dvmptres3 25843 . . 3 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (-1(,)1) ↦ (arccosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))))))
468, 45eqtrd 2766 . 2 (⊀ β†’ (ℝ D (arccos β†Ύ (-1(,)1))) = (π‘₯ ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2))))))
4746mptru 1540 1 (ℝ D (arccos β†Ύ (-1(,)1))) = (π‘₯ ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (π‘₯↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  [,)cico 13332  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15186   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  β„‚fldccnfld 21240  Clsdccld 22875   D cdv 25747  arccoscacos 26750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-asin 26752  df-acos 26753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator