Theorem dvreacos 37213

Description: Real derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dvreacos	⊢ (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Proof of Theorem dvreacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acosf 26826	. . . . . 6 ⊢ arccos:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → arccos:ℂ⟶ℂ)
3		ioossre 13425	. . . . . . 7 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11203	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3991	. . . . . 6 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (-1(,)1) ⊆ ℂ)
7	2, 6	feqresmpt 6973	. . . 4 ⊢ (⊤ → (arccos ↾ (-1(,)1)) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arccos‘𝑥)))
8	7	oveq2d 7442	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arccos‘𝑥))))
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		reelprrecn 11238	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12	9	recld2 24750	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
13		neg1rr 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
14		iocmnfcld 24705	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
16		1re 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		icopnfcld 24704	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
19		uncld 22965	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
20	15, 18, 19	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
21	9	tgioo2 24739	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22	21	fveq2i 6905	. . . . . . 7 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
23	20, 22	eleqtri 2827	. . . . . 6 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24		restcldr 23098	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
25	12, 23, 24	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26	9	cnfldtopon 24719	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
27	26	toponunii 22838	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cldopn 22955	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
29	25, 28	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30		incom 4203	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
32	31	asindmre 37209	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = (-1(,)1)
33	30, 32	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1))
35		eldifi 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		acoscl 26827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arccos‘𝑥) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → (arccos‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (arccos‘𝑥) ∈ ℂ)
39		ovexd 7461	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
40		difssd 4133	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ)
41	2, 40	feqresmpt 6973	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arccos ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arccos‘𝑥)))
42	41	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arccos ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arccos‘𝑥))))
43	31	dvacos 37211	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
44	42, 43	eqtr3di 2783	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arccos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
45	9, 11, 29, 34, 38, 39, 44	dvmptres3 25908	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arccos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
46	8, 45	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
47	46	mptru 1540	1 ⊢ (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {cpr 4634   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683   ↾ cres 5684  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  ℝcr 11145  1c1 11147  +∞cpnf 11283  -∞cmnf 11284   − cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  2c2 12305  (,)cioo 13364  (,]cioc 13365  [,)cico 13366  ↑cexp 14066  √csqrt 15220   ↾_t crest 17409  TopOpenctopn 17410  topGenctg 17426  ℂ_fldccnfld 21286  Clsdccld 22940   D cdv 25812  arccoscacos 26815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-tan 16055  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-cxp 26511  df-asin 26817  df-acos 26818

This theorem is referenced by: (None)