Theorem dvreacos 36570

Description: Real derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dvreacos	⊢ (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Proof of Theorem dvreacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acosf 26376	. . . . . 6 ⊢ arccos:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → arccos:ℂ⟶ℂ)
3		ioossre 13384	. . . . . . 7 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11166	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3991	. . . . . 6 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (-1(,)1) ⊆ ℂ)
7	2, 6	feqresmpt 6961	. . . 4 ⊢ (⊤ → (arccos ↾ (-1(,)1)) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arccos‘𝑥)))
8	7	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arccos‘𝑥))))
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		reelprrecn 11201	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12	9	recld2 24329	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
13		neg1rr 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
14		iocmnfcld 24284	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
16		1re 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		icopnfcld 24283	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
19		uncld 22544	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
20	15, 18, 19	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
21	9	tgioo2 24318	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22	21	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
23	20, 22	eleqtri 2831	. . . . . 6 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24		restcldr 22677	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
25	12, 23, 24	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26	9	cnfldtopon 24298	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
27	26	toponunii 22417	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cldopn 22534	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
29	25, 28	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30		incom 4201	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
32	31	asindmre 36566	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = (-1(,)1)
33	30, 32	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1))
35		eldifi 4126	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		acoscl 26377	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arccos‘𝑥) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → (arccos‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (arccos‘𝑥) ∈ ℂ)
39		ovexd 7443	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
40		difssd 4132	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ)
41	2, 40	feqresmpt 6961	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arccos ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arccos‘𝑥)))
42	41	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arccos ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arccos‘𝑥))))
43	31	dvacos 36568	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
44	42, 43	eqtr3di 2787	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arccos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
45	9, 11, 29, 34, 38, 39, 44	dvmptres3 25472	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arccos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
46	8, 45	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
47	46	mptru 1548	1 ⊢ (ℝ D (arccos ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  1c1 11110  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245   − cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  2c2 12266  (,)cioo 13323  (,]cioc 13324  [,)cico 13325  ↑cexp 14026  √csqrt 15179   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  ℂ_fldccnfld 20943  Clsdccld 22519   D cdv 25379  arccoscacos 26365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-tan 16014  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065  df-asin 26367  df-acos 26368

This theorem is referenced by: (None)