Theorem limcnlp 25947

Description: If 𝐵 is not a limit point of the domain of the function 𝐹, then every point is a limit of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimc2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcnlp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
limcnlp	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcnlp

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		limccl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		limccl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ellimc2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	ellimc2 25946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
6	4	cnfldtop 24850	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ Top
7	2	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8	7	ssdifssd 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
9	4	cnfldtopon 24849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
10	9	toponunii 22983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
11	10	clscld 23114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
12	6, 8, 11	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
13	10	cldopn 23098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
15		limcnlp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
16	10	islp 23207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
17	6, 2, 16	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
18	15, 17	mtbid 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
19	3, 18	eldifd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
20	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
21		difin2 4254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
22	8, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
23	10	sscls 23123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
24	6, 8, 23	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25		ssdif0 4320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
26	24, 25	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
27	22, 26	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
28	27	imaeq2d 6049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ∅))
29		ima0 6066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
30	28, 29	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
31		0ss 4355	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ 𝑢
32	30, 31	eqsstrdi 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
33		eleq2 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))))
34		ineq1 4166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 6049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	33, 36	anbi12d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
38	37	rspcev 3582	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
39	14, 20, 32, 38	syl12anc 847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
40	39	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
41	40	ralrimivw 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
42	41	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
43	42	pm4.71d 569	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
44	5, 43	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
45	44	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4583   “ cima 5651  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  TopOpenctopn 17460  ℂ_fldccnfld 21431  Topctop 22960  Clsdccld 23083  clsccl 23085  limPtclp 23201   lim_ℂ climc 25931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13523  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-struct 17193  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-rest 17461  df-topn 17462  df-topgen 17482  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-cls 23088  df-lp 23203  df-cnp 23295  df-xms 24387  df-ms 24388  df-limc 25935

This theorem is referenced by: (None)