Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcnlp 24484
 Description: If 𝐵 is not a limit point of the domain of the function 𝐹, then every point is a limit of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limccl.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limccl.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
ellimc2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcnlp.n (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
limcnlp (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcnlp
Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 limccl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 limccl.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 ellimc2.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
51, 2, 3, 4ellimc2 24483 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
64cnfldtop 23392 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ Top
72adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
87ssdifssd 4073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
94cnfldtopon 23391 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
109toponunii 21524 . . . . . . . . . . 11 ℂ = 𝐾
1110clscld 21655 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
126, 8, 11sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
1310cldopn 21639 . . . . . . . . 9 (((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
15 limcnlp.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
1610islp 21748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
176, 2, 16sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
1815, 17mtbid 327 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
193, 18eldifd 3895 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2019adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
21 difin2 4219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
228, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
2310sscls 21664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
246, 8, 23sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25 ssdif0 4280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
2624, 25sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
2722, 26eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
2827imaeq2d 5900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ∅))
29 ima0 5916 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ ∅) = ∅
3028, 29eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
31 0ss 4307 . . . . . . . . 9 ∅ ⊆ 𝑢
3230, 31eqsstrdi 3972 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
33 eleq2 2881 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐵𝑣𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))))
34 ineq1 4134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3534imaeq2d 5900 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
3635sseq1d 3949 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
3733, 36anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
3837rspcev 3574 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
3914, 20, 32, 38syl12anc 835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
4039a1d 25 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
4140ralrimivw 3153 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
4241ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
4342pm4.71d 565 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
445, 43bitr4d 285 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
4544eqrdv 2799 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528   “ cima 5526  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  TopOpenctopn 16690  ℂfldccnfld 20094  Topctop 21501  Clsdccld 21624  clsccl 21626  limPtclp 21742   limℂ climc 24468 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-cls 21629  df-lp 21744  df-cnp 21836  df-xms 22930  df-ms 22931  df-limc 24472 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator