MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcnlp 24179
Description: If 𝐵 is not a limit point of the domain of the function 𝐹, then every point is a limit of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limccl.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limccl.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
ellimc2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcnlp.n (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
limcnlp (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcnlp
Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 limccl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 limccl.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 ellimc2.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
51, 2, 3, 4ellimc2 24178 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
64cnfldtop 23095 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ Top
72adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
87ssdifssd 4010 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
94cnfldtopon 23094 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
109toponunii 21228 . . . . . . . . . . 11 ℂ = 𝐾
1110clscld 21359 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
126, 8, 11sylancr 578 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
1310cldopn 21343 . . . . . . . . 9 (((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
15 limcnlp.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
1610islp 21452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
176, 2, 16sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
1815, 17mtbid 316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
193, 18eldifd 3841 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2019adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
21 difin2 4154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
228, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
2310sscls 21368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
246, 8, 23sylancr 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25 ssdif0 4210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
2624, 25sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
2722, 26eqtr3d 2817 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
2827imaeq2d 5770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ∅))
29 ima0 5785 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ ∅) = ∅
3028, 29syl6eq 2831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
31 0ss 4236 . . . . . . . . 9 ∅ ⊆ 𝑢
3230, 31syl6eqss 3912 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
33 eleq2 2855 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐵𝑣𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))))
34 ineq1 4069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3534imaeq2d 5770 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
3635sseq1d 3889 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
3733, 36anbi12d 621 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
3837rspcev 3536 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
3914, 20, 32, 38syl12anc 824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
4039a1d 25 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
4140ralrimivw 3134 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
4241ex 405 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
4342pm4.71d 554 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑣𝐾 (𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
445, 43bitr4d 274 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
4544eqrdv 2777 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3089  wrex 3090  cdif 3827  cin 3829  wss 3830  c0 4179  {csn 4441  cima 5410  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  TopOpenctopn 16551  fldccnfld 20247  Topctop 21205  Clsdccld 21328  clsccl 21330  limPtclp 21446   lim climc 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-fz 12709  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-rest 16552  df-topn 16553  df-topgen 16573  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-cls 21333  df-lp 21448  df-cnp 21540  df-xms 22633  df-ms 22634  df-limc 24167
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator