Theorem limcnlp 25242

Description: If 𝐵 is not a limit point of the domain of the function 𝐹, then every point is a limit of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimc2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcnlp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
limcnlp	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcnlp

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		limccl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		limccl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ellimc2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	ellimc2 25241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
6	4	cnfldtop 24147	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ Top
7	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8	7	ssdifssd 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
9	4	cnfldtopon 24146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
10	9	toponunii 22265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
11	10	clscld 22398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
12	6, 8, 11	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾))
13	10	cldopn 22382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Clsd‘𝐾) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾)
15		limcnlp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
16	10	islp 22491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
17	6, 2, 16	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
18	15, 17	mtbid 323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
19	3, 18	eldifd 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
21		difin2 4251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
22	8, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
23	10	sscls 22407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
24	6, 8, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25		ssdif0 4323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
26	24, 25	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
27	22, 26	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
28	27	imaeq2d 6013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ∅))
29		ima0 6029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
30	28, 29	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = ∅)
31		0ss 4356	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ 𝑢
32	30, 31	eqsstrdi 3998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
33		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))))
34		ineq1 4165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 6013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	33, 36	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) → ((𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
38	37	rspcev 3581	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ ((ℂ ∖ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
39	14, 20, 32, 38	syl12anc 835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
40	39	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
41	40	ralrimivw 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
42	41	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
43	42	pm4.71d 562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
44	5, 43	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
45	44	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ∖ cdif 3907   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   “ cima 5636  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  TopOpenctopn 17303  ℂ_fldccnfld 20796  Topctop 22242  Clsdccld 22367  clsccl 22369  limPtclp 22485   lim_ℂ climc 25226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cls 22372  df-lp 22487  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230

This theorem is referenced by: (None)