MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcnlp 25827
Description: If 𝐡 is not a limit point of the domain of the function 𝐹, then every point is a limit of 𝐹 at 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limccl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limccl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
ellimc2.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limcnlp.n (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄))
Assertion
Ref Expression
limcnlp (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = β„‚)

Proof of Theorem limcnlp
Dummy variables π‘₯ 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 limccl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3 limccl.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 ellimc2.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
51, 2, 3, 4ellimc2 25826 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
64cnfldtop 24720 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ Top
72adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
87ssdifssd 4143 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚)
94cnfldtopon 24719 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
109toponunii 22838 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = βˆͺ 𝐾
1110clscld 22971 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
126, 8, 11sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
1310cldopn 22955 . . . . . . . . 9 (((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})) ∈ (Clsdβ€˜πΎ) β†’ (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∈ 𝐾)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∈ 𝐾)
15 limcnlp.n . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄))
1610islp 23064 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
176, 2, 16sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
1815, 17mtbid 323 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))
193, 18eldifd 3960 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
2019adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
21 difin2 4294 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚ β†’ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) = ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})))
228, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) = ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})))
2310sscls 22980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))
246, 8, 23sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))
25 ssdif0 4367 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})) ↔ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) = βˆ…)
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) = βˆ…)
2722, 26eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) = βˆ…)
2827imaeq2d 6068 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐹 β€œ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) = (𝐹 β€œ βˆ…))
29 ima0 6085 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β€œ βˆ…) = βˆ…
3028, 29eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐹 β€œ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) = βˆ…)
31 0ss 4400 . . . . . . . . 9 βˆ… βŠ† 𝑒
3230, 31eqsstrdi 4036 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐹 β€œ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)
33 eleq2 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ↔ 𝐡 ∈ (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))))
34 ineq1 4207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) β†’ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) = ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})))
3534imaeq2d 6068 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) β†’ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) = (𝐹 β€œ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))))
3635sseq1d 4013 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
3733, 36anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) β†’ ((𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐡 ∈ (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∧ (𝐹 β€œ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
3837rspcev 3611 . . . . . . . 8 (((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 ∈ (β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∧ (𝐹 β€œ ((β„‚ βˆ– ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
3914, 20, 32, 38syl12anc 835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
4039a1d 25 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
4140ralrimivw 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
4241ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
4342pm4.71d 560 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
445, 43bitr4d 281 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ β„‚))
4544eqrdv 2726 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286  Topctop 22815  Clsdccld 22940  clsccl 22942  limPtclp 23058   limβ„‚ climc 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-cls 22945  df-lp 23060  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-limc 25815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator