Theorem dvreasin 36890

Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dvreasin	⊢ (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Proof of Theorem dvreasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asinf 26628	. . . . . 6 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
3		ioossre 13392	. . . . . . 7 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11173	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3991	. . . . . 6 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (-1(,)1) ⊆ ℂ)
7	2, 6	feqresmpt 6961	. . . 4 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ (-1(,)1)) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥)))
8	7	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))))
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		reelprrecn 11208	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12	9	recld2 24563	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
13		neg1rr 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
14		iocmnfcld 24518	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
16		1re 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		icopnfcld 24517	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
19		uncld 22778	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
20	15, 18, 19	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
21	9	tgioo2 24552	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22	21	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
23	20, 22	eleqtri 2830	. . . . . 6 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24		restcldr 22911	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
25	12, 23, 24	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26	9	cnfldtopon 24532	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
27	26	toponunii 22651	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cldopn 22768	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
29	25, 28	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30		incom 4201	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
32	31	asindmre 36887	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = (-1(,)1)
33	30, 32	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1))
35		eldifi 4126	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		asincl 26629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
39		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
40		difssd 4132	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ)
41	2, 40	feqresmpt 6961	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥)))
42	41	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))))
43	31	dvasin 36888	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
44	42, 43	eqtr3di 2786	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
45	9, 11, 29, 34, 38, 39, 44	dvmptres3 25721	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
46	8, 45	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
47	46	mptru 1547	1 ⊢ (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  1c1 11117  +∞cpnf 11252  -∞cmnf 11253   − cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  (,)cioo 13331  (,]cioc 13332  [,)cico 13333  ↑cexp 14034  √csqrt 15187   ↾_t crest 17373  TopOpenctopn 17374  topGenctg 17390  ℂ_fldccnfld 21148  Clsdccld 22753   D cdv 25625  arcsincasin 26618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-cmp 23124  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629  df-log 26316  df-cxp 26317  df-asin 26621

This theorem is referenced by:  areacirclem1  36892