Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvreasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvreasin 37713
Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvreasin (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Proof of Theorem dvreasin
StepHypRef Expression
1 asinf 26915 . . . . . 6 arcsin:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
3 ioossre 13448 . . . . . . 7 (-1(,)1) ⊆ ℝ
4 ax-resscn 11212 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3993 . . . . . 6 (-1(,)1) ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (-1(,)1) ⊆ ℂ)
72, 6feqresmpt 6978 . . . 4 (⊤ → (arcsin ↾ (-1(,)1)) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥)))
87oveq2d 7447 . . 3 (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))))
9 eqid 2737 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10 reelprrecn 11247 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
129recld2 24836 . . . . . 6 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
13 neg1rr 12381 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
14 iocmnfcld 24789 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
16 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
17 icopnfcld 24788 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
19 uncld 23049 . . . . . . . 8 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2015, 18, 19mp2an 692 . . . . . . 7 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
21 tgioo4 24826 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2221fveq2i 6909 . . . . . . 7 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
2320, 22eleqtri 2839 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24 restcldr 23182 . . . . . 6 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
2512, 23, 24mp2an 692 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
269cnfldtopon 24803 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2726toponunii 22922 . . . . . 6 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2827cldopn 23039 . . . . 5 (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2925, 28mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30 incom 4209 . . . . . 6 (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
3231asindmre 37710 . . . . . 6 ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = (-1(,)1)
3330, 32eqtri 2765 . . . . 5 (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1)
3433a1i 11 . . . 4 (⊤ → (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1))
35 eldifi 4131 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℂ)
36 asincl 26916 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
3837adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
39 ovexd 7466 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
40 difssd 4137 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ)
412, 40feqresmpt 6978 . . . . . 6 (⊤ → (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥)))
4241oveq2d 7447 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))))
4331dvasin 37711 . . . . 5 (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
4442, 43eqtr3di 2792 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
459, 11, 29, 34, 38, 39, 44dvmptres3 25994 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
468, 45eqtrd 2777 . 2 (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
4746mptru 1547 1 (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {cpr 4628  cmpt 5225  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  cexp 14102  csqrt 15272  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Clsdccld 23024   D cdv 25898  arcsincasin 26905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-asin 26908
This theorem is referenced by:  areacirclem1  37715
  Copyright terms: Public domain W3C validator