Theorem dvreasin 38892

Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dvreasin	⊢ (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Proof of Theorem dvreasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asinf 27257	. . . . . 6 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
3		ioossre 13578	. . . . . . 7 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11296	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3922	. . . . . 6 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ( -1(,)1) ⊆ ℂ)
7	2, 6	feqresmpt 6985	. . . 4 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ ( -1(,)1)) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥)))
8	7	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		reelprrecn 11331	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12	9	recld2 25189	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
13		neg1rr 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
14		iocmnfcld 25142	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1 ∈ ℝ → (-∞(,] -1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,] -1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
16		1re 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		icopnfcld 25141	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
19		uncld 23414	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,] -1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
20	15, 18, 19	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
21		tgioo4 25179	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22	21	fveq2i 6919	. . . . . . 7 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
23	20, 22	eleqtri 2862	. . . . . 6 ⊢ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24		restcldr 23547	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
25	12, 23, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26	9	cnfldtopon 25156	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
27	26	toponunii 23289	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cldopn 23404	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
29	25, 28	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30		incom 4109	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))
32	31	asindmre 38889	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = ( -1(,)1)
33	30, 32	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = ( -1(,)1)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = ( -1(,)1))
35		eldifi 4070	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		asincl 27258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
39		ovexd 7486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
40		difssd 4076	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ)
41	2, 40	feqresmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥)))
42	41	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))))
43	31	dvasin 38890	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
44	42, 43	eqtr3di 2813	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
45	9, 11, 29, 34, 38, 39, 44	dvmptres3 26331	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
46	8, 45	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
47	46	mptru 1577	1 ⊢ (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  {cpr 4590   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  1c1 11240  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  (,)cioo 13516  (,]cioc 13517  [,)cico 13518  ↑cexp 14244  √csqrt 15443   ↾_t crest 17641  TopOpenctopn 17642  topGenctg 17658  ℂ_fldccnfld 21729  Clsdccld 23389   D cdv 26238  arcsincasin 27247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-tan 16281  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-cxp 26942  df-asin 27250

This theorem is used by:  areacirclem1  38894