Theorem dvreasin 38761

Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dvreasin	⊢ (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Proof of Theorem dvreasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asinf 27209	. . . . . 6 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
3		ioossre 13545	. . . . . . 7 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11264	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3918	. . . . . 6 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ( -1(,)1) ⊆ ℂ)
7	2, 6	feqresmpt 6959	. . . 4 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ ( -1(,)1)) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥)))
8	7	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		reelprrecn 11299	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12	9	recld2 25143	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
13		neg1rr 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
14		iocmnfcld 25096	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1 ∈ ℝ → (-∞(,] -1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,] -1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
16		1re 11315	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		icopnfcld 25095	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
19		uncld 23368	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,] -1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
20	15, 18, 19	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
21		tgioo4 25133	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22	21	fveq2i 6893	. . . . . . 7 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
23	20, 22	eleqtri 2858	. . . . . 6 ⊢ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24		restcldr 23501	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
25	12, 23, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26	9	cnfldtopon 25110	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
27	26	toponunii 23243	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cldopn 23358	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
29	25, 28	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30		incom 4105	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))
32	31	asindmre 38758	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = ( -1(,)1)
33	30, 32	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = ( -1(,)1)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = ( -1(,)1))
35		eldifi 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		asincl 27210	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
39		ovexd 7459	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
40		difssd 4072	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ)
41	2, 40	feqresmpt 6959	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥)))
42	41	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))))
43	31	dvasin 38759	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
44	42, 43	eqtr3di 2810	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,] -1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
45	9, 11, 29, 34, 38, 39, 44	dvmptres3 26285	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
46	8, 45	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
47	46	mptru 1576	1 ⊢ (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  {cpr 4586   ↦ cmpt 5185  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  1c1 11208  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  2c2 12404  (,)cioo 13483  (,]cioc 13484  [,)cico 13485  ↑cexp 14211  √csqrt 15409   ↾_t crest 17600  TopOpenctopn 17601  topGenctg 17617  ℂ_fldccnfld 21687  Clsdccld 23343   D cdv 26192  arcsincasin 27199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-tan 16246  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-cxp 26894  df-asin 27202

This theorem is used by:  areacirclem1  38763