Theorem dvreasin 38205

Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dvreasin	⊢ (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Proof of Theorem dvreasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asinf 26937	. . . . . 6 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
3		ioossre 13411	. . . . . . 7 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11130	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (-1(,)1) ⊆ ℂ)
7	2, 6	feqresmpt 6936	. . . 4 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ (-1(,)1)) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥)))
8	7	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		reelprrecn 11165	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12	9	recld2 24875	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
13		neg1rr 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
14		iocmnfcld 24828	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
16		1re 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		icopnfcld 24827	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
19		uncld 23101	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
20	15, 18, 19	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
21		tgioo4 24865	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22	21	fveq2i 6870	. . . . . . 7 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
23	20, 22	eleqtri 2860	. . . . . 6 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24		restcldr 23234	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
25	12, 23, 24	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26	9	cnfldtopon 24842	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
27	26	toponunii 22976	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cldopn 23091	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
29	25, 28	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
30		incom 4161	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
31		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
32	31	asindmre 38202	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = (-1(,)1)
33	30, 32	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (-1(,)1))
35		eldifi 4084	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		asincl 26938	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
39		ovexd 7431	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
40		difssd 4090	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ)
41	2, 40	feqresmpt 6936	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥)))
42	41	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))))
43	31	dvasin 38203	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
44	42, 43	eqtr3di 2812	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
45	9, 11, 29, 34, 38, 39, 44	dvmptres3 26018	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
46	8, 45	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
47	46	mptru 1567	1 ⊢ (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {cpr 4584   ↦ cmpt 5181  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  1c1 11074  +∞cpnf 11213  -∞cmnf 11214   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  2c2 12272  (,)cioo 13349  (,]cioc 13350  [,)cico 13351  ↑cexp 14074  √csqrt 15260   ↾_t crest 17449  TopOpenctopn 17450  topGenctg 17466  ℂ_fldccnfld 21424  Clsdccld 23076   D cdv 25925  arcsincasin 26927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-tan 16101  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-limc 25928  df-dv 25929  df-log 26621  df-cxp 26622  df-asin 26930

This theorem is referenced by:  areacirclem1  38207