MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdmopn 25238
Description: The "continuous domain" of log is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logdmopn 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem logdmopn
StepHypRef Expression
1 logcn.d . 2 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2 eqid 2824 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32recld2 23417 . . . 4 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
4 0re 10637 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 iocmnfcld 23372 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
72tgioo2 23406 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87fveq2i 6662 . . . . 5 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
96, 8eleqtri 2914 . . . 4 (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
10 restcldr 21777 . . . 4 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
113, 9, 10mp2an 691 . . 3 (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
12 unicntop 23389 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1312cldopn 21634 . . 3 ((-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
1411, 13ax-mp 5 . 2 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
151, 14eqeltri 2912 1 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  ran crn 5544  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  -∞cmnf 10667  (,)cioo 12733  (,]cioc 12734  t crest 16692  TopOpenctopn 16693  topGenctg 16709  fldccnfld 20540  Clsdccld 21619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-rest 16694  df-topn 16695  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-xms 22925  df-ms 22926
This theorem is referenced by:  dvlog  25240  efopnlem2  25246  atansopn  25516
  Copyright terms: Public domain W3C validator