Theorem logdmopn 26394

Description: The "continuous domain" of log is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmopn	⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem logdmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	recld2 24551	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
4		0re 11221	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		iocmnfcld 24506	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
7	2	tgioo2 24540	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8	7	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9	6, 8	eleqtri 2830	. . . 4 ⊢ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
10		restcldr 22899	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
11	3, 9, 10	mp2an 689	. . 3 ⊢ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
12		unicntop 24523	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
13	12	cldopn 22756	. . 3 ⊢ ((-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
15	1, 14	eqeltri 2828	1 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  ℝcr 11113  0cc0 11114  -∞cmnf 11251  (,)cioo 13329  (,]cioc 13330   ↾_t crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  ℂ_fldccnfld 21145  Clsdccld 22741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-xms 24047  df-ms 24048

This theorem is referenced by:  dvlog  26396  efopnlem2  26402  atansopn  26674