Theorem logdmopn 27007

Description: The "continuous domain" of log is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmopn	⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Proof of Theorem logdmopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	recld2 25164	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
4		0re 11337	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		iocmnfcld 25117	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
7		tgioo4 25154	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8	7	fveq2i 6911	. . . . 5 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9	6, 8	eleqtri 2862	. . . 4 ⊢ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
10		restcldr 23522	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
11	3, 9, 10	mp2an 705	. . 3 ⊢ (-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
12		unicntop 25134	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
13	12	cldopn 23379	. . 3 ⊢ ((-∞(,]0) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
15	1, 14	eqeltri 2860	1 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  ran crn 5656  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  -∞cmnf 11368  (,)cioo 13503  (,]cioc 13504   ↾_t crest 17620  TopOpenctopn 17621  topGenctg 17637  ℂ_fldccnfld 21708  Clsdccld 23364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-rest 17622  df-topn 17623  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-xms 24669  df-ms 24670

This theorem is used by:  dvlog  27009  efopnlem2  27015  atansopn  27290