MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climaddc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climaddc2 15612
Description: Limit of a constant 𝐶 added to each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climaddc1.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6 (𝜑𝐺𝑊)
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climaddc2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 + (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climaddc2 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶 + 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climaddc2
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climadd.4 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
4 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 climaddc1.6 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
6 climaddc1.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
74adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 climaddc2.h . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 + (𝐹𝑘)))
97, 6, 8comraddd 11458 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) + 𝐶))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9climaddc1 15611 . 2 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))
11 climcl 15475 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
123, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1312, 4addcomd 11446 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))
1410, 13breqtrd 5169 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  cc 11136   + caddc 11141  cz 12588  cuz 12852  cli 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464
This theorem is referenced by:  isumsplit  15818  divcnvlin  35384
  Copyright terms: Public domain W3C validator