Theorem climaddc2 15682

Description: Limit of a constant 𝐶 added to each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climaddc1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climaddc1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climaddc2.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 + (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climaddc2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 + 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climaddc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climaddc1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		climaddc1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
6		climaddc1.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		climaddc2.h	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 + (𝐹‘𝑘)))
9	7, 6, 8	comraddd 11504	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + 𝐶))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	climaddc1 15681	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))
11		climcl 15545	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12, 4	addcomd 11492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))
14	10, 13	breqtrd 5192	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534

This theorem is referenced by:  isumsplit  15888  divcnvlin  35695