Theorem climeu 14914

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
climeu	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem climeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 14858	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		breq2 5072	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
3	2	spcegv 3599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦))
4	1, 3	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦)
5		climuni 14911	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	gen2 1797	. 2 ⊢ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
7		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐹 ⇝ 𝑥
8		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹 ⇝ 𝑦
9		breq2 5072	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑦))
10	7, 8, 9	cbveuw 2690	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ ∃!𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦)
11		breq2 5072	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑥))
12	11	eu4 2699	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
13	10, 12	bitri 277	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
14	4, 6, 13	sylanblrc 592	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1535  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2653   class class class wbr 5068  ℂcc 10537   ⇝ cli 14843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847

This theorem is referenced by:  climreu  14915  climmo  14916