MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeu 15391
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
climeu (𝐹𝐴 → ∃!𝑥 𝐹𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem climeu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcl 15335 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2 breq2 5107 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦𝐹𝐴))
32spcegv 3554 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴 → ∃𝑦 𝐹𝑦))
41, 3mpcom 38 . 2 (𝐹𝐴 → ∃𝑦 𝐹𝑦)
5 climuni 15388 . . 3 ((𝐹𝑦𝐹𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
65gen2 1798 . 2 𝑦𝑥((𝐹𝑦𝐹𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
7 nfv 1917 . . . 4 𝑦 𝐹𝑥
8 nfv 1917 . . . 4 𝑥 𝐹𝑦
9 breq2 5107 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥𝐹𝑦))
107, 8, 9cbveuw 2605 . . 3 (∃!𝑥 𝐹𝑥 ↔ ∃!𝑦 𝐹𝑦)
11 breq2 5107 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦𝐹𝑥))
1211eu4 2615 . . 3 (∃!𝑦 𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹𝑦 ∧ ∀𝑦𝑥((𝐹𝑦𝐹𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
1310, 12bitri 274 . 2 (∃!𝑥 𝐹𝑥 ↔ (∃𝑦 𝐹𝑦 ∧ ∀𝑦𝑥((𝐹𝑦𝐹𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
144, 6, 13sylanblrc 590 1 (𝐹𝐴 → ∃!𝑥 𝐹𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1539  wex 1781  wcel 2106  ∃!weu 2566   class class class wbr 5103  cc 11007  cli 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324
This theorem is referenced by:  climreu  15392  climmo  15393
  Copyright terms: Public domain W3C validator