Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodefisum 31965
Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodefisum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodefisum.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
iprodefisum.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
iprodefisum.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
iprodefisum (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (exp‘𝐵) = (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iprodefisum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisum.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodefisum.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodefisum.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
4 iprodefisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 iprodefisum.5 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
61, 2, 3, 4, 5isumcl 14700 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
7 efne0 15033 . . 3 𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ → (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵) ≠ 0)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵) ≠ 0)
9 efcn 24417 . . . . 5 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
12 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)) = (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))
13 fvex 6344 . . . . . . . 8 (𝐹𝑘) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6426 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1514adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
163, 4eqeltrd 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1715, 16eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) ∈ ℂ)
181, 2, 17serf 13036 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))):𝑍⟶ℂ)
191eqcomi 2780 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) = 𝑍
2014, 19eleq2s 2868 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2120adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
222, 21seqfeq 13033 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))) = seq𝑀( + , 𝐹))
23 climdm 14493 . . . . . 6 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
245, 23sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
2522, 24eqbrtrd 4809 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
26 climcl 14438 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ ℂ)
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ ℂ)
281, 2, 10, 18, 25, 27climcncf 22923 . . 3 (𝜑 → (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))) ⇝ (exp‘( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹))))
2911cbvmptv 4885 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
3016, 29fmptd 6529 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)):𝑍⟶ℂ)
311, 2, 30iprodefisumlem 31964 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , (exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))) = (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))))
321, 2, 3, 4isum 14658 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
3332fveq2d 6337 . . 3 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵) = (exp‘( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹))))
3428, 31, 333brtr4d 4819 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , (exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))) ⇝ (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵))
35 fvco3 6419 . . . 4 (((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)):𝑍⟶ℂ ∧ 𝑘𝑍) → ((exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))‘𝑘) = (exp‘((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘)))
3630, 35sylan 569 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))‘𝑘) = (exp‘((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘)))
3715fveq2d 6337 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (exp‘((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘)) = (exp‘(𝐹𝑘)))
383fveq2d 6337 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (exp‘(𝐹𝑘)) = (exp‘𝐵))
3936, 37, 383eqtrd 2809 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))‘𝑘) = (exp‘𝐵))
40 efcl 15019 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
414, 40syl 17 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
421, 2, 8, 34, 39, 41iprodn0 14877 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (exp‘𝐵) = (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142   + caddc 10145   · cmul 10147  cz 11584  cuz 11893  seqcseq 13008  cli 14423  Σcsu 14624  cprod 14842  expce 14998  cnccncf 22899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-prod 14843  df-ef 15004  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  iprodgam  31966
  Copyright terms: Public domain W3C validator