Theorem iprodefisum 36088

Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodefisum.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodefisum.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodefisum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
iprodefisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
iprodefisum.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
iprodefisum	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (exp‘𝐵) = (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iprodefisum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodefisum.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodefisum.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodefisum.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
4		iprodefisum.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		iprodefisum.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6	1, 2, 3, 4, 5	isumcl 15788	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
7		efne0 16128	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ → (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵) ≠ 0)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵) ≠ 0)
9		efcn 26503	. . . . 5 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
13		fvex 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
15	14	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16	3, 4	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	15, 16	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘) ∈ ℂ)
18	1, 2, 17	serf 14043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))):𝑍⟶ℂ)
19	1	eqcomi 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
20	14, 19	eleq2s 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
22	2, 21	seqfeq 14040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))) = seq𝑀( + , 𝐹))
23		climdm 15581	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
24	5, 23	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
25	22, 24	eqbrtrd 5122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
26		climcl 15526	. . . . 5 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ ℂ)
27	24, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ ℂ)
28	1, 2, 10, 18, 25, 27	climcncf 24959	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)))) ⇝ (exp‘( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹))))
29	11	cbvmptv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
30	16, 29	fmptd 7095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℂ)
31	1, 2, 30	iprodefisumlem 36087	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)))) = (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)))))
32	1, 2, 3, 4	isum 15746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
33	32	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵) = (exp‘( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹))))
34	28, 31, 33	3brtr4d 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)))) ⇝ (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
35		fvco3 6967	. . . 4 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = (exp‘((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘)))
36	30, 35	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = (exp‘((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘)))
37	15	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (exp‘((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))‘𝑘)) = (exp‘(𝐹‘𝑘)))
38	3	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (exp‘(𝐹‘𝑘)) = (exp‘𝐵))
39	36, 37, 38	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗)))‘𝑘) = (exp‘𝐵))
40		efcl 16112	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
41	4, 40	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
42	1, 2, 8, 34, 39, 41	iprodn0 15970	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (exp‘𝐵) = (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   + caddc 11076   · cmul 11078  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  seqcseq 14014   ⇝ cli 15511  Σcsu 15713  ∏cprod 15933  expce 16091  –cn→ccncf 24935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-prod 15934  df-ef 16097  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926

This theorem is referenced by:  iprodgam  36089