Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodefisum 34434
Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisum.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iprodefisum.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iprodefisum.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐡)
iprodefisum.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
iprodefisum.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
iprodefisum (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 (expβ€˜π΅) = (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem iprodefisum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisum.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iprodefisum.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iprodefisum.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐡)
4 iprodefisum.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 iprodefisum.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
61, 2, 3, 4, 5isumcl 15672 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ β„‚)
7 efne0 16005 . . 3 (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) β‰  0)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) β‰  0)
9 efcn 25854 . . . . 5 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11 fveq2 6862 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘˜))
12 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))
13 fvex 6875 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6968 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1514adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
163, 4eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1715, 16eqeltrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
181, 2, 17serf 13961 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))):π‘βŸΆβ„‚)
191eqcomi 2740 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = 𝑍
2014, 19eleq2s 2850 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
222, 21seqfeq 13958 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))) = seq𝑀( + , 𝐹))
23 climdm 15463 . . . . . 6 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)))
245, 23sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)))
2522, 24eqbrtrd 5147 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)))
26 climcl 15408 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)) β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ β„‚)
2724, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ β„‚)
281, 2, 10, 18, 25, 27climcncf 24315 . . 3 (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))) ⇝ (expβ€˜( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹))))
2911cbvmptv 5238 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
3016, 29fmptd 7082 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)):π‘βŸΆβ„‚)
311, 2, 30iprodefisumlem 34433 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , (exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))) = (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))))
321, 2, 3, 4isum 15630 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)))
3332fveq2d 6866 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) = (expβ€˜( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹))))
3428, 31, 333brtr4d 5157 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , (exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))) ⇝ (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
35 fvco3 6960 . . . 4 (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)):π‘βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))β€˜π‘˜) = (expβ€˜((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
3630, 35sylan 580 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))β€˜π‘˜) = (expβ€˜((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
3715fveq2d 6866 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (expβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
383fveq2d 6866 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (expβ€˜π΅))
3936, 37, 383eqtrd 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((exp ∘ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))β€˜π‘˜) = (expβ€˜π΅))
40 efcl 15991 . . 3 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΅) ∈ β„‚)
414, 40syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜π΅) ∈ β„‚)
421, 2, 8, 34, 39, 41iprodn0 15849 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 (expβ€˜π΅) = (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208  dom cdm 5653   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„‚cc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   Β· cmul 11080  β„€cz 12523  β„€β‰₯cuz 12787  seqcseq 13931   ⇝ cli 15393  Ξ£csu 15597  βˆcprod 15814  expce 15970  β€“cnβ†’ccncf 24291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14979  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-prod 15815  df-ef 15976  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17413  df-qtop 17418  df-imas 17419  df-xps 17421  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-mulg 18902  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-fbas 20845  df-fg 20846  df-cnfld 20849  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-cld 22422  df-ntr 22423  df-cls 22424  df-nei 22501  df-lp 22539  df-perf 22540  df-cn 22630  df-cnp 22631  df-haus 22718  df-tx 22965  df-hmeo 23158  df-fil 23249  df-fm 23341  df-flim 23342  df-flf 23343  df-xms 23725  df-ms 23726  df-tms 23727  df-cncf 24293  df-limc 25282  df-dv 25283
This theorem is referenced by:  iprodgam  34435
  Copyright terms: Public domain W3C validator