MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusum2 25997
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded, provided that 𝑇 ≠ 0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrisumn0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisumn0.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrisumn0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 1   𝑥,𝑑,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑑,𝑥   𝑇,𝑑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12384 . . . 4 + ⊆ ℝ
2 ax-1cn 10583 . . . 4 1 ∈ ℂ
3 o1const 14964 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
41, 2, 3mp2an 688 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
62a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 fzfid 13329 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
9 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1312ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
14 elfzelz 12896 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 25748 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
17 elfznn 12924 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
19 mucl 25645 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
2019zred 12075 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
21 nndivre 11666 . . . . . . . . 9 (((μ‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2220, 21mpancom 684 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2423recnd 10657 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
2516, 24mulcld 10649 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
267, 25fsumcl 15078 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
27 dchrisumn0.t . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
28 climcl 14844 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇𝑇 ∈ ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
3126, 30mulcld 10649 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ)
321a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
33 subcl 10873 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ ℂ)
342, 31, 33sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ ℂ)
35 1red 10630 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36 dchrisumn0.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 12830 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
3836, 37sylib 219 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
3938simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
40 fzfid 13329 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
4125adantlrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
42 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
43 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4412adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
45 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
478, 9, 10, 11, 44, 46dchrzrhcl 25748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
48 nncn 11634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
50 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
5247, 49, 51divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
53 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
54 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
5654, 55oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5756cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5853, 57eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5952, 58fmptd 6870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
6059ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
6142, 43, 60serf 13386 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6261ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
63 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6463rpred 12419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
65 nndivre 11666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
6664, 17, 65syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
6717adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
6867nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
6968mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) = 𝑑)
70 fznnfl 13218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
7164, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
7271simplbda 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑𝑥)
7369, 72eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) ≤ 𝑥)
74 1red 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
7564adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7667nnrpd 12417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
7774, 75, 76lemuldivd 12468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 · 𝑑) ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
7873, 77mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
79 flge1nn 13179 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℕ)
8066, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℕ)
8162, 80ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ ℂ)
8241, 81mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
8329ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8441, 83mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ)
8540, 82, 84fsumsub 15131 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8641, 81, 83subdid 11084 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) = ((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8786sumeq2dv 15048 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8812ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
8914ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
90 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
928, 9, 10, 11, 88, 89, 91dchrzrhmul 25749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))))
9392oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
9416adantlrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
9668adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
978, 9, 10, 11, 88, 91dchrzrhcl 25748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
98 elfznn 12924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
10099nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
10167nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ≠ 0)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
10399nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
10495, 96, 97, 100, 102, 103divmuldivd 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
10593, 104eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
106105oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
10767, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
108107zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
11095, 96, 102divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
11197, 100, 103divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
112109, 110, 111mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
113109, 95, 96, 102div12d 11440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)))
114113oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
115106, 112, 1143eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
116115sumeq2dv 15048 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
117 fzfid 13329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ Fin)
118 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝜑)
119118, 98, 52syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
120117, 41, 119fsummulc2 15127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
121 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
12256, 53, 121fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
12399, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
12480, 42eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ (ℤ‘1))
125123, 124, 119fsumser 15075 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))))
126125oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))))
127116, 120, 1263eqtr2rd 2860 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
128127sumeq2dv 15048 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
129 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
130 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
131129, 130oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
132131oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
133 elrabi 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
134133ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
135134, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
136135zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
13712ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
138 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
139138adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
1408, 9, 10, 11, 137, 139dchrzrhcl 25748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
141 fz1ssnn 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ)
143142sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
144143nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
145143nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
146140, 144, 145divcld 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
147146adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
148136, 147mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) ∈ ℂ)
149132, 64, 148dvdsflsumcom 25692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
150 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
151 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
152150, 151oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
153 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
154 flge1nn 13179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
15564, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
156155, 42eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
157 eluzfz1 12902 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
159152, 40, 142, 158, 146musumsum 25696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
160128, 149, 1593eqtr2d 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
1618, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 25747 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
162161adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
163162oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
164 1div1e1 11318 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
165163, 164syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
166160, 165eqtr2d 2854 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))))
16729adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑇 ∈ ℂ)
16840, 167, 41fsummulc1 15128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))
169166, 168oveq12d 7163 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
17085, 87, 1693eqtr4rd 2864 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
171170fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) = (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
17281, 83subcld 10985 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇) ∈ ℂ)
17341, 172mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℂ)
17440, 173fsumcl 15078 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℂ)
175174abscld 14784 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
176173abscld 14784 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
17740, 176fsumrecl 15079 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
17839adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17940, 173fsumabs 15144 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
180 reflcl 13154 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
18164, 180syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
182181, 178remulcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ∈ ℝ)
183182, 63rerpdivcld 12450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ∈ ℝ)
184178, 63rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℝ)
185184adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℝ)
18641abscld 14784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ∈ ℝ)
18767nnrecred 11676 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
188172abscld 14784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℝ)
18976rpred 12419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ)
190185, 189remulcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) ∈ ℝ)
19141absge0d 14792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))))
192172absge0d 14792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
19394abscld 14784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ∈ ℝ)
19424adantlrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
195194abscld 14784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℝ)
19694absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))))
197194absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)))
198 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
19912ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
200 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
201200nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2029, 198, 11znzrhfo 20622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
203 fof 6583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
204201, 202, 2033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
205204adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
206 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
207205, 14, 206syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
2088, 10, 9, 198, 199, 207dchrabs2 25765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ≤ 1)
209108, 68, 101absdivd 14803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)))
21076rprege0d 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
211 absid 14644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
213212oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
214209, 213eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
215108abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ∈ ℝ)
216 mule1 25652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
21767, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
218215, 74, 76, 217lediv1dd 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑) ≤ (1 / 𝑑))
219214, 218eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ≤ (1 / 𝑑))
220193, 74, 195, 187, 196, 197, 208, 219lemul12ad 11570 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 · (1 / 𝑑)))
22194, 194absmuld 14802 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))))
222187recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
223222mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
224223eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) = (1 · (1 / 𝑑)))
225220, 221, 2243brtr4d 5089 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
226 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))))
227226fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
228 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐶 / 𝑦) = (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)))
229227, 228breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / (𝑥 / 𝑑))))
230 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
231230ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
232 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
233 elicopnf 12821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))))
234232, 233ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
23566, 78, 234sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞))
236229, 231, 235rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)))
237178recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℂ)
238237adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
239 rpcnne0 12395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
240239ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
241240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
242 divdiv2 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥))
243238, 241, 68, 101, 242syl112anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥))
244 div23 11305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
245238, 68, 241, 244syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
246243, 245eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
247236, 246breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
248186, 187, 188, 190, 191, 192, 225, 247lemul12ad 11570 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
24941, 172absmuld 14802 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
250184recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ)
251250adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ)
252251, 68, 101divcan4d 11410 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) / 𝑑) = (𝐶 / 𝑥))
253251, 68mulcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) ∈ ℂ)
254253, 68, 101divrec2d 11408 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
255252, 254eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) = ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
256248, 249, 2553brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ (𝐶 / 𝑥))
25740, 176, 185, 256fsumle 15142 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥))
258155nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
259 hashfz1 13694 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
261260oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
262 fsumconst 15133 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)))
26340, 250, 262syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)))
264155nncnd 11642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
265 divass 11304 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
266264, 237, 240, 265syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
267261, 263, 2663eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥))
268257, 267breqtrd 5083 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥))
26938adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
270 flle 13157 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
27164, 270syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
272 lemul1a 11482 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶))
273181, 64, 269, 271, 272syl31anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶))
274182, 178, 63ledivmuld 12472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ≤ 𝐶 ↔ ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶)))
275273, 274mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ≤ 𝐶)
276177, 183, 178, 268, 275letrd 10785 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ 𝐶)
277175, 177, 178, 179, 276letrd 10785 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ 𝐶)
278171, 277eqbrtrd 5079 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) ≤ 𝐶)
27932, 34, 35, 39, 278elo1d 14881 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
2806, 31, 279o1dif 14974 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1)))
2815, 280mpbid 233 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  [,)cico 12728  ...cfz 12880  cfl 13148  seqcseq 13357  chash 13678  abscabs 14581  cli 14829  𝑂(1)co1 14831  Σcsu 15030  cdvds 15595  Basecbs 16471  0gc0g 16701  ℤRHomczrh 20575  ℤ/nczn 20578  μcmu 25599  DChrcdchr 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-o1 14835  df-lo1 14836  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-qus 16770  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-od 18585  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zn 20582  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-mu 25605  df-dchr 25736
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  26005  dchrmusumlem  26025
  Copyright terms: Public domain W3C validator