MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusum2 27552
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded, provided that 𝑇 ≠ 0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrisumn0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisumn0.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrisumn0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 1   𝑥,𝑑,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑑,𝑥   𝑇,𝑑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 13039 . . . 4 + ⊆ ℝ
2 ax-1cn 11210 . . . 4 1 ∈ ℂ
3 o1const 15652 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
41, 2, 3mp2an 692 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
62a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 fzfid 14010 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
9 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1312ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
14 elfzelz 13560 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 27303 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
17 elfznn 13589 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
19 mucl 27198 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
2019zred 12719 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
21 nndivre 12304 . . . . . . . . 9 (((μ‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2220, 21mpancom 688 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2423recnd 11286 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
2516, 24mulcld 11278 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
267, 25fsumcl 15765 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
27 dchrisumn0.t . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
28 climcl 15531 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇𝑇 ∈ ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
3126, 30mulcld 11278 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ)
321a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
33 subcl 11504 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ ℂ)
342, 31, 33sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ ℂ)
35 1red 11259 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36 dchrisumn0.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 13490 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
3836, 37sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
3938simpld 494 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
40 fzfid 14010 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
4125adantlrr 721 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
42 nnuz 12918 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
43 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
45 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
478, 9, 10, 11, 44, 46dchrzrhcl 27303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
48 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
50 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
5247, 49, 51divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
53 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
54 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
5654, 55oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5756cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5853, 57eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5952, 58fmptd 7133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
6059ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
6142, 43, 60serf 14067 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6261ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
63 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6463rpred 13074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
65 nndivre 12304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
6664, 17, 65syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
6717adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
6867nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
6968mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) = 𝑑)
70 fznnfl 13898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
7164, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
7271simplbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑𝑥)
7369, 72eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) ≤ 𝑥)
74 1red 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
7564adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7667nnrpd 13072 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
7774, 75, 76lemuldivd 13123 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 · 𝑑) ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
7873, 77mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
79 flge1nn 13857 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℕ)
8066, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℕ)
8162, 80ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ ℂ)
8241, 81mulcld 11278 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
8329ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8441, 83mulcld 11278 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ)
8540, 82, 84fsumsub 15820 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8641, 81, 83subdid 11716 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) = ((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8786sumeq2dv 15734 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8812ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
8914ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
90 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
928, 9, 10, 11, 88, 89, 91dchrzrhmul 27304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))))
9392oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
9416adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
9668adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
978, 9, 10, 11, 88, 91dchrzrhcl 27303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
98 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
10099nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
10167nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ≠ 0)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
10399nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
10495, 96, 97, 100, 102, 103divmuldivd 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
10593, 104eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
106105oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
10767, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
108107zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
11095, 96, 102divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
11197, 100, 103divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
112109, 110, 111mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
113109, 95, 96, 102div12d 12076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)))
114113oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
115106, 112, 1143eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
116115sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
117 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ Fin)
118 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝜑)
119118, 98, 52syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
120117, 41, 119fsummulc2 15816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
121 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
12256, 53, 121fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
12399, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
12480, 42eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ (ℤ‘1))
125123, 124, 119fsumser 15762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))))
126125oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))))
127116, 120, 1263eqtr2rd 2781 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
128127sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
129 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
130 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
131129, 130oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
132131oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
133 elrabi 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
134133ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
135134, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
136135zcnd 12720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
13712ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
138 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
139138adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
1408, 9, 10, 11, 137, 139dchrzrhcl 27303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
141 fz1ssnn 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ)
143142sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
144143nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
145143nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
146140, 144, 145divcld 12040 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
147146adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
148136, 147mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) ∈ ℂ)
149132, 64, 148dvdsflsumcom 27245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
150 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
151 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
152150, 151oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
153 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
154 flge1nn 13857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
15564, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
156155, 42eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
157 eluzfz1 13567 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
159152, 40, 142, 158, 146musumsum 27249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
160128, 149, 1593eqtr2d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
1618, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 27302 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
162161adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
163162oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
164 1div1e1 11955 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
165163, 164eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
166160, 165eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))))
16729adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑇 ∈ ℂ)
16840, 167, 41fsummulc1 15817 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))
169166, 168oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
17085, 87, 1693eqtr4rd 2785 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
171170fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) = (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
17281, 83subcld 11617 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇) ∈ ℂ)
17341, 172mulcld 11278 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℂ)
17440, 173fsumcl 15765 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℂ)
175174abscld 15471 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
176173abscld 15471 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
17740, 176fsumrecl 15766 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
17839adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
17940, 173fsumabs 15833 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
180 reflcl 13832 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
18164, 180syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
182181, 178remulcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ∈ ℝ)
183182, 63rerpdivcld 13105 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ∈ ℝ)
184178, 63rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℝ)
185184adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℝ)
18641abscld 15471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ∈ ℝ)
18767nnrecred 12314 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
188172abscld 15471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℝ)
18976rpred 13074 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ)
190185, 189remulcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) ∈ ℝ)
19141absge0d 15479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))))
192172absge0d 15479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
19394abscld 15471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ∈ ℝ)
19424adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
195194abscld 15471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℝ)
19694absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))))
197194absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)))
198 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
19912ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
200 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
201200nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2029, 198, 11znzrhfo 21583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
203 fof 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
204201, 202, 2033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
205204adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
206 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
207205, 14, 206syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
2088, 10, 9, 198, 199, 207dchrabs2 27320 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ≤ 1)
209108, 68, 101absdivd 15490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)))
21076rprege0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
211 absid 15331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
213212oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
214209, 213eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
215108abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ∈ ℝ)
216 mule1 27205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
21767, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
218215, 74, 76, 217lediv1dd 13132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑) ≤ (1 / 𝑑))
219214, 218eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ≤ (1 / 𝑑))
220193, 74, 195, 187, 196, 197, 208, 219lemul12ad 12207 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 · (1 / 𝑑)))
22194, 194absmuld 15489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))))
222187recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
223222mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
224223eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) = (1 · (1 / 𝑑)))
225220, 221, 2243brtr4d 5179 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
226 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))))
227226fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
228 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐶 / 𝑦) = (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)))
229227, 228breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / (𝑥 / 𝑑))))
230 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
231230ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
232 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
233 elicopnf 13481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))))
234232, 233ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
23566, 78, 234sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞))
236229, 231, 235rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)))
237178recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℂ)
238237adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
239 rpcnne0 13050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
240239ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
241240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
242 divdiv2 11976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥))
243238, 241, 68, 101, 242syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥))
244 div23 11938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
245238, 68, 241, 244syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
246243, 245eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
247236, 246breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
248186, 187, 188, 190, 191, 192, 225, 247lemul12ad 12207 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
24941, 172absmuld 15489 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
250184recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ)
251250adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ)
252251, 68, 101divcan4d 12046 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) / 𝑑) = (𝐶 / 𝑥))
253251, 68mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) ∈ ℂ)
254253, 68, 101divrec2d 12044 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
255252, 254eqtr3d 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) = ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
256248, 249, 2553brtr4d 5179 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ (𝐶 / 𝑥))
25740, 176, 185, 256fsumle 15831 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥))
258155nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
259 hashfz1 14381 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
261260oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
262 fsumconst 15822 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)))
26340, 250, 262syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)))
264155nncnd 12279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
265 divass 11937 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
266264, 237, 240, 265syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
267261, 263, 2663eqtr4d 2784 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥))
268257, 267breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥))
26938adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
270 flle 13835 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
27164, 270syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
272 lemul1a 12118 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶))
273181, 64, 269, 271, 272syl31anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶))
274182, 178, 63ledivmuld 13127 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ≤ 𝐶 ↔ ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶)))
275273, 274mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ≤ 𝐶)
276177, 183, 178, 268, 275letrd 11415 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ 𝐶)
277175, 177, 178, 179, 276letrd 11415 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ 𝐶)
278171, 277eqbrtrd 5169 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) ≤ 𝐶)
27932, 34, 35, 39, 278elo1d 15568 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
2806, 31, 279o1dif 15662 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1)))
2815, 280mpbid 232 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  {crab 3432  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6558  ontowfo 6560  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  [,)cico 13385  ...cfz 13543  cfl 13826  seqcseq 14038  chash 14365  abscabs 15269  cli 15516  𝑂(1)co1 15518  Σcsu 15718  cdvds 16286  Basecbs 17244  0gc0g 17485  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nczn 21530  μcmu 27152  DChrcdchr 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-od 19560  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-mu 27158  df-dchr 27291
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  27560  dchrmusumlem  27580
  Copyright terms: Public domain W3C validator