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Theorem dchrmusum2 26986
Description: The sum of the MΓΆbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded, provided that 𝑇 β‰  0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrisumn0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisumn0.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrisumn0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, 1   π‘₯,𝑑,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑇(π‘Ž)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12977 . . . 4 ℝ+ βŠ† ℝ
2 ax-1cn 11164 . . . 4 1 ∈ β„‚
3 o1const 15560 . . . 4 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
41, 2, 3mp2an 690 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
62a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
7 fzfid 13934 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
9 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1312ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
14 elfzelz 13497 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 26737 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
17 elfznn 13526 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
19 mucl 26634 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
2019zred 12662 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
21 nndivre 12249 . . . . . . . . 9 (((ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
2220, 21mpancom 686 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
2423recnd 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
2516, 24mulcld 11230 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
267, 25fsumcl 15675 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
27 dchrisumn0.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
28 climcl 15439 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇 β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3029adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3126, 30mulcld 11230 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
321a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
33 subcl 11455 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
342, 31, 33sylancr 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 βˆ’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
35 1red 11211 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
36 dchrisumn0.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 13427 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
3836, 37sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
3938simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
40 fzfid 13934 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
4125adantlrr 719 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
42 nnuz 12861 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
43 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4412adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
45 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
478, 9, 10, 11, 44, 46dchrzrhcl 26737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
48 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
50 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š β‰  0)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
5247, 49, 51divcld 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
53 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
54 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
5654, 55oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5756cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5853, 57eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5952, 58fmptd 7110 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
6059ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
6142, 43, 60serf 13992 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„‚)
6261ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„‚)
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6463rpred 13012 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
65 nndivre 12249 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
6664, 17, 65syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
6717adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
6867nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
6968mullidd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑑) = 𝑑)
70 fznnfl 13823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ π‘₯)))
7164, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ π‘₯)))
7271simplbda 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ≀ π‘₯)
7369, 72eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑑) ≀ π‘₯)
74 1red 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
7564adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7667nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
7774, 75, 76lemuldivd 13061 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1 Β· 𝑑) ≀ π‘₯ ↔ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑)))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑))
79 flge1nn 13782 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„•)
8066, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„•)
8162, 80ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) ∈ β„‚)
8241, 81mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) ∈ β„‚)
8329ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8441, 83mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
8540, 82, 84fsumsub 15730 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) βˆ’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)))
8641, 81, 83subdid 11666 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)))
8786sumeq2dv 15645 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)))
8812ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8914ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
90 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
9190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
928, 9, 10, 11, 88, 89, 91dchrzrhmul 26738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))))
9392oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
9416adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
9668adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
978, 9, 10, 11, 88, 91dchrzrhcl 26737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
98 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
10099nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
10167nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 β‰  0)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
10399nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š β‰  0)
10495, 96, 97, 100, 102, 103divmuldivd 12027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
10593, 104eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
106105oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
10767, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
108107zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
11095, 96, 102divcld 11986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ∈ β„‚)
11197, 100, 103divcld 11986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
112109, 110, 111mulassd 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
113109, 95, 96, 102div12d 12022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)))
114113oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
115106, 112, 1143eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
116115sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
117 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) ∈ Fin)
118 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ πœ‘)
119118, 98, 52syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
120117, 41, 119fsummulc2 15726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
121 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ V
12256, 53, 121fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
12399, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
12480, 42eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
125123, 124, 119fsumser 15672 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))
126125oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))))
127116, 120, 1263eqtr2rd 2779 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š))))
128127sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š))))
129 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))))
130 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ 𝑛 = (𝑑 Β· π‘š))
131129, 130oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
132131oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š))))
133 elrabi 3676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
134133ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
135134, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
136135zcnd 12663 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
13712ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
138 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
139138adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1408, 9, 10, 11, 137, 139dchrzrhcl 26737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
141 fz1ssnn 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•)
143142sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
144143nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
145143nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
146140, 144, 145divcld 11986 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) ∈ β„‚)
147146adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) ∈ β„‚)
148136, 147mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛)) ∈ β„‚)
149132, 64, 148dvdsflsumcom 26681 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š))))
150 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)))
151 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ 𝑛 = 1)
152150, 151oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1))
153 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
154 flge1nn 13782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
15564, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
156155, 42eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
157 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
159152, 40, 142, 158, 146musumsum 26685 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1))
160128, 149, 1593eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1))
1618, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 26736 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = 1)
162161adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = 1)
163162oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = (1 / 1))
164 1div1e1 11900 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
165163, 164eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = 1)
166160, 165eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))))
16729adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
16840, 167, 41fsummulc1 15727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇))
169166, 168oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1 βˆ’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) βˆ’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)))
17085, 87, 1693eqtr4rd 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1 βˆ’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)))
171170fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇))) = (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))))
17281, 83subcld 11567 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
17341, 172mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
17440, 173fsumcl 15675 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
175174abscld 15379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
176173abscld 15379 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
17740, 176fsumrecl 15676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
17839adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
17940, 173fsumabs 15743 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))))
180 reflcl 13757 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
18164, 180syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
182181, 178remulcld 11240 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) ∈ ℝ)
183182, 63rerpdivcld 13043 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) / π‘₯) ∈ ℝ)
184178, 63rerpdivcld 13043 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (𝐢 / π‘₯) ∈ ℝ)
185184adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 / π‘₯) ∈ ℝ)
18641abscld 15379 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ∈ ℝ)
18767nnrecred 12259 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
188172abscld 15379 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
18976rpred 13012 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
190185, 189remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑) ∈ ℝ)
19141absge0d 15387 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))))
192172absge0d 15387 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)))
19394abscld 15379 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
19424adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
195194abscld 15379 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ ℝ)
19694absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))))
197194absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)))
198 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
19912ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
200 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
201200nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2029, 198, 11znzrhfo 21094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
203 fof 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
204201, 202, 2033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
205204adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
206 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑑 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘))
207205, 14, 206syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΏβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘))
2088, 10, 9, 198, 199, 207dchrabs2 26754 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) ≀ 1)
209108, 68, 101absdivd 15398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / (absβ€˜π‘‘)))
21076rprege0d 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑))
211 absid 15239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑) β†’ (absβ€˜π‘‘) = 𝑑)
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘‘) = 𝑑)
213212oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / (absβ€˜π‘‘)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑))
214209, 213eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑))
215108abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
216 mule1 26641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ≀ 1)
21767, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ≀ 1)
218215, 74, 76, 217lediv1dd 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ≀ (1 / 𝑑))
219214, 218eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ≀ (1 / 𝑑))
220193, 74, 195, 187, 196, 197, 208, 219lemul12ad 12152 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 Β· (1 / 𝑑)))
22194, 194absmuld 15397 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))))
222187recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑑) ∈ β„‚)
223222mullidd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
224223eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑑) = (1 Β· (1 / 𝑑)))
225220, 221, 2243brtr4d 5179 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 / 𝑑))
226 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))
227226fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)))
228 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (𝐢 / 𝑦) = (𝐢 / (π‘₯ / 𝑑)))
229227, 228breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / (π‘₯ / 𝑑))))
230 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
231230ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
232 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
233 elicopnf 13418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑))))
234232, 233ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑)))
23566, 78, 234sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)+∞))
236229, 231, 235rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / (π‘₯ / 𝑑)))
237178recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
238237adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
239 rpcnne0 12988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
240239ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
241240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
242 divdiv2 11922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ (𝐢 / (π‘₯ / 𝑑)) = ((𝐢 Β· 𝑑) / π‘₯))
243238, 241, 68, 101, 242syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 / (π‘₯ / 𝑑)) = ((𝐢 Β· 𝑑) / π‘₯))
244 div23 11887 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ ((𝐢 Β· 𝑑) / π‘₯) = ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑))
245238, 68, 241, 244syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐢 Β· 𝑑) / π‘₯) = ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑))
246243, 245eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 / (π‘₯ / 𝑑)) = ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑))
247236, 246breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇)) ≀ ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑))
248186, 187, 188, 190, 191, 192, 225, 247lemul12ad 12152 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) Β· (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ≀ ((1 / 𝑑) Β· ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑)))
24941, 172absmuld 15397 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) = ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) Β· (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))))
250184recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (𝐢 / π‘₯) ∈ β„‚)
251250adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 / π‘₯) ∈ β„‚)
252251, 68, 101divcan4d 11992 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑) / 𝑑) = (𝐢 / π‘₯))
253251, 68mulcld 11230 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑) ∈ β„‚)
254253, 68, 101divrec2d 11990 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) Β· ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑)))
255252, 254eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 / π‘₯) = ((1 / 𝑑) Β· ((𝐢 / π‘₯) Β· 𝑑)))
256248, 249, 2553brtr4d 5179 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ≀ (𝐢 / π‘₯))
25740, 176, 185, 256fsumle 15741 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 / π‘₯))
258155nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
259 hashfz1 14302 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
261260oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (𝐢 / π‘₯)) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (𝐢 / π‘₯)))
262 fsumconst 15732 . . . . . . . . . 10 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ (𝐢 / π‘₯) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (𝐢 / π‘₯)))
26340, 250, 262syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (𝐢 / π‘₯)))
264155nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
265 divass 11886 . . . . . . . . . 10 (((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (𝐢 / π‘₯)))
266264, 237, 240, 265syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (𝐢 / π‘₯)))
267261, 263, 2663eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 / π‘₯) = (((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) / π‘₯))
268257, 267breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ≀ (((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) / π‘₯))
26938adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
270 flle 13760 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
27164, 270syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
272 lemul1a 12064 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢)) ∧ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) ≀ (π‘₯ Β· 𝐢))
273181, 64, 269, 271, 272syl31anc 1373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) ≀ (π‘₯ Β· 𝐢))
274182, 178, 63ledivmuld 13065 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) / π‘₯) ≀ 𝐢 ↔ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) ≀ (π‘₯ Β· 𝐢)))
275273, 274mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 𝐢) / π‘₯) ≀ 𝐢)
276177, 183, 178, 268, 275letrd 11367 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ≀ 𝐢)
277175, 177, 178, 179, 276letrd 11367 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) βˆ’ 𝑇))) ≀ 𝐢)
278171, 277eqbrtrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇))) ≀ 𝐢)
27932, 34, 35, 39, 278elo1d 15476 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 βˆ’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
2806, 31, 279o1dif 15570 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) ∈ 𝑂(1)))
2815, 280mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  [,)cico 13322  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  seqcseq 13962  β™―chash 14286  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  π‘‚(1)co1 15426  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  Basecbs 17140  0gc0g 17381  β„€RHomczrh 21040  β„€/nβ„€czn 21043  ΞΌcmu 26588  DChrcdchr 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-od 19390  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057  df-mu 26594  df-dchr 26725
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  26994  dchrmusumlem  27014
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