MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2div Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2div 14821
Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2div.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2div.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2div.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2div.4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2div.5 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
clim2div (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem clim2div
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2div.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 eluzelz 11896 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 clim2div.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleq2s 2868 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76peano2zd 11685 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 clim2div.4 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9 eluzel2 11891 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
109, 4eleq2s 2868 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
112, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2div.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
134, 11, 12prodf 14819 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelrnd 6501 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 clim2div.5 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
1614, 15reccld 10994 . . 3 (𝜑 → (1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
17 seqex 13003 . . . 4 seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V)
192, 4syl6eleq 2860 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
20 peano2uz 11941 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2221, 4syl6eleqr 2861 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
234uztrn2 11904 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2422, 23sylan 569 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2513ffvelrnda 6500 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2624, 25syldan 579 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
27 mulcl 10220 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
2827adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
29 mulass 10224 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
3029adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
31 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3219adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
33 elfzuz 12538 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 4syl6eleqr 2861 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3534, 12sylan2 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3635adantlr 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3728, 30, 31, 32, 36seqsplit 13034 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)))
3837eqcomd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗))
3914adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
404uztrn2 11904 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4122, 40sylan 569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4241, 12syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
431, 7, 42prodf 14819 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6500 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4515adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
4626, 39, 44, 45divmuld 11023 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ↔ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4738, 46mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗))
4826, 39, 45divrec2d 11005 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4947, 48eqtr3d 2807 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
501, 7, 8, 16, 18, 26, 49climmulc2 14568 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
51 climcl 14431 . . . 4 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
528, 51syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5352, 14, 15divrec2d 11005 . 2 (𝜑 → (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
5450, 53breqtrrd 4814 1 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141   / cdiv 10884  cz 11577  cuz 11886  ...cfz 12526  seqcseq 13001  cli 14416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12527  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420
This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  14832
  Copyright terms: Public domain W3C validator