MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2div Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2div 15867
Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2div.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
clim2div.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2div.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
clim2div.4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2div.5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0)
Assertion
Ref Expression
clim2div (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem clim2div
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
2 clim2div.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
3 eluzelz 12862 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 clim2div.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
53, 4eleq2s 2843 . . . . 5 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
62, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
76peano2zd 12699 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
8 clim2div.4 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9 eluzel2 12857 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
109, 4eleq2s 2843 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
112, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 clim2div.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
134, 11, 12prodf 15865 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
1413, 2ffvelcdmd 7090 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
15 clim2div.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0)
1614, 15reccld 12013 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„‚)
17 seqex 14000 . . . 4 seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ∈ V)
192, 4eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
20 peano2uz 12915 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2221, 4eleqtrrdi 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
234uztrn2 12871 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2422, 23sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2513ffvelcdmda 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
2624, 25syldan 589 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
27 mulcl 11222 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2827adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
29 mulass 11226 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ Β· π‘₯) Β· 𝑦) = (π‘˜ Β· (π‘₯ Β· 𝑦)))
3029adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ Β· π‘₯) Β· 𝑦) = (π‘˜ Β· (π‘₯ Β· 𝑦)))
31 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
3219adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
33 elfzuz 13529 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3433, 4eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3534, 12sylan2 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3635adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3728, 30, 31, 32, 36seqsplit 14032 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
3837eqcomd 2731 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
3914adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
404uztrn2 12871 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4122, 40sylan 578 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4241, 12syldan 589 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
431, 7, 42prodf 15865 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
4443ffvelcdmda 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4515adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0)
4626, 39, 44, 45divmuld 12042 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ↔ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
4738, 46mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
4826, 39, 45divrec2d 12024 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
4947, 48eqtr3d 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) = ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
501, 7, 8, 16, 18, 26, 49climmulc2 15613 . 2 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· 𝐴))
51 climcl 15475 . . . 4 (seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
528, 51syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5352, 14, 15divrec2d 12024 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· 𝐴))
5450, 53breqtrrd 5171 1 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   / cdiv 11901  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998   ⇝ cli 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464
This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15878
  Copyright terms: Public domain W3C validator