Theorem clim2div 15945

Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2div.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2div.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2div.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2div.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2div.5	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
clim2div	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem clim2div

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2div.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		eluzelz 12873	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		clim2div.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleq2s 2881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12704	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8		clim2div.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9		eluzel2 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9, 4	eleq2s 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2div.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	4, 11, 12	prodf 15943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
14	13, 2	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		clim2div.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
16	14, 15	reccld 11985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
17		seqex 14041	. . . 4 ⊢ seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V)
19	2, 4	eleqtrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		peano2uz 12926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21, 4	eleqtrrdi 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
23	4	uztrn2 12882	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
24	22, 23	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	13	ffvelcdmda 7081	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
26	24, 25	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
27		mulcl 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
28	27	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
29		mulass 11189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
30	29	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
31		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
32	19	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		elfzuz 13549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 4	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	34, 12	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	35	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	28, 30, 31, 32, 36	seqsplit 14073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)))
38	37	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗))
39	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
40	4	uztrn2 12882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
41	22, 40	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
42	41, 12	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
43	1, 7, 42	prodf 15943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
44	43	ffvelcdmda 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
45	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
46	26, 39, 44, 45	divmuld 12014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ↔ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
47	38, 46	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗))
48	26, 39, 45	divrec2d 11996	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
49	47, 48	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
50	1, 7, 8, 16, 18, 26, 49	climmulc2 15690	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
51		climcl 15552	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
52	8, 51	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53	52, 14, 15	divrec2d 11996	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
54	50, 53	breqtrrd 5140	1 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   / cdiv 11872  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  seqcseq 14039   ⇝ cli 15537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541

This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15956