Theorem clim2div 15922

Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2div.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2div.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2div.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2div.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2div.5	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
clim2div	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem clim2div

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2div.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		eluzelz 12886	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		clim2div.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleq2s 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8		clim2div.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9		eluzel2 12881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9, 4	eleq2s 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2div.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	4, 11, 12	prodf 15920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
14	13, 2	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		clim2div.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
16	14, 15	reccld 12034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
17		seqex 14041	. . . 4 ⊢ seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V)
19	2, 4	eleqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		peano2uz 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21, 4	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
23	4	uztrn2 12895	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
24	22, 23	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	13	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
26	24, 25	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
27		mulcl 11237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
29		mulass 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
32	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		elfzuz 13557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 4	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	34, 12	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	35	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	28, 30, 31, 32, 36	seqsplit 14073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)))
38	37	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗))
39	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
40	4	uztrn2 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
41	22, 40	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
42	41, 12	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
43	1, 7, 42	prodf 15920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
44	43	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
45	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
46	26, 39, 44, 45	divmuld 12063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ↔ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
47	38, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗))
48	26, 39, 45	divrec2d 12045	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
49	47, 48	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
50	1, 7, 8, 16, 18, 26, 49	climmulc2 15670	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
51		climcl 15532	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
52	8, 51	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53	52, 14, 15	divrec2d 12045	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
54	50, 53	breqtrrd 5176	1 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   / cdiv 11918  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039   ⇝ cli 15517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521

This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15933