MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2div Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2div 15237
Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2div.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2div.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2div.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2div.4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2div.5 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
clim2div (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem clim2div
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . 3 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2div.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 eluzelz 12245 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 clim2div.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleq2s 2935 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76peano2zd 12082 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 clim2div.4 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9 eluzel2 12240 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
109, 4eleq2s 2935 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
112, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2div.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
134, 11, 12prodf 15235 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelrnd 6847 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 clim2div.5 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
1614, 15reccld 11401 . . 3 (𝜑 → (1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
17 seqex 13364 . . . 4 seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V)
192, 4syl6eleq 2927 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
20 peano2uz 12293 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2221, 4syl6eleqr 2928 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
234uztrn2 12254 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2422, 23sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2513ffvelrnda 6846 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2624, 25syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
27 mulcl 10613 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
2827adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
29 mulass 10617 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
3029adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
31 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3219adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
33 elfzuz 12897 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 4syl6eleqr 2928 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3534, 12sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3635adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3728, 30, 31, 32, 36seqsplit 13396 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)))
3837eqcomd 2831 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗))
3914adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
404uztrn2 12254 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4122, 40sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4241, 12syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
431, 7, 42prodf 15235 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4515adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
4626, 39, 44, 45divmuld 11430 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ↔ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4738, 46mpbird 258 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗))
4826, 39, 45divrec2d 11412 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4947, 48eqtr3d 2862 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
501, 7, 8, 16, 18, 26, 49climmulc2 14986 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
51 climcl 14849 . . . 4 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
528, 51syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5352, 14, 15divrec2d 11412 . 2 (𝜑 → (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
5450, 53breqtrrd 5090 1 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  Vcvv 3499   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   / cdiv 11289  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885  seqcseq 13362  cli 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838
This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15248
  Copyright terms: Public domain W3C validator