Theorem climneg 44312

Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climneg.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climneg.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climneg.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climneg.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climneg.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climneg	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -𝐴)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climneg.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5255	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)
3		climneg.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		nfmpt1 5255	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
5		climneg.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climneg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	5	fvexi 6902	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ∈ V)
10		1cnd 11205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1))
13		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
15		1cnd 11205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 1 ∈ ℂ)
16	15	negcld 11554	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → -1 ∈ ℂ)
17	12, 13, 14, 16	fvmptd 7002	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
19	5, 6, 9, 11, 18	climconst 15483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
20	7	mptex 7221	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
22		climneg.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
23		neg1cn 12322	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
24		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)
25	24	fvmpt2 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
26	23, 25	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
27	26, 23	eqeltrdi 2841	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
28	27	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
29		climneg.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
31	29	negcld 11554	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
32		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
33	32	fvmpt2 7006	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
34	30, 31, 33	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
35	29	mulm1d 11662	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · (𝐹‘𝑘)) = -(𝐹‘𝑘))
36	26	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → -1 = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
37	36	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -1 = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
38	37	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · (𝐹‘𝑘)) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
39	34, 35, 38	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39	climmulf 44306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
41		climcl 15439	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
42	22, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	mulm1d 11662	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
44	40, 43	breqtrd 5173	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  1c1 11107   · cmul 11111  -cneg 11441  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818   ⇝ cli 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428

This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  44503