Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 45027
Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climneg.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climneg.3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climneg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climneg.5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climneg.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
climneg (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ -๐ด)
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 nfmpt1 5260 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)
3 climneg.2 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐น
4 nfmpt1 5260 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))
5 climneg.3 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
6 climneg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
75fvexi 6916 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ V
87mptex 7241 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โˆˆ V
98a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โˆˆ V)
10 1cnd 11247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1110negcld 11596 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
12 eqidd 2729 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1))
13 eqidd 2729 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ -1 = -1)
14 id 22 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
15 1cnd 11247 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1615negcld 11596 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
1712, 13, 14, 16fvmptd 7017 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘—) = -1)
1817adantl 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘—) = -1)
195, 6, 9, 11, 18climconst 15527 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โ‡ -1)
207mptex 7241 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ V
2120a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ V)
22 climneg.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
23 neg1cn 12364 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
24 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)
2524fvmpt2 7021 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) = -1)
2623, 25mpan2 689 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) = -1)
2726, 23eqeltrdi 2837 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2827adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 climneg.6 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
30 simpr 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
3129negcld 11596 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ -(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
32 eqid 2728 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))
3332fvmpt2 7021 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง -(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3430, 31, 33syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3529mulm1d 11704 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (-1 ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3626eqcomd 2734 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ -1 = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜))
3736adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ -1 = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜))
3837oveq1d 7441 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (-1 ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = (((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
3934, 35, 383eqtr2d 2774 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = (((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39climmulf 45021 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ (-1 ยท ๐ด))
41 climcl 15483 . . . 4 (๐น โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4222, 41syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342mulm1d 11704 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
4440, 43breqtrd 5178 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ -๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โ„ฒwnfc 2879  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  1c1 11147   ยท cmul 11151  -cneg 11483  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860   โ‡ cli 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  45218
  Copyright terms: Public domain W3C validator