Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 44880
Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climneg.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climneg.3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climneg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climneg.5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climneg.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
climneg (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ -๐ด)
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 nfmpt1 5249 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)
3 climneg.2 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐น
4 nfmpt1 5249 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))
5 climneg.3 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
6 climneg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
75fvexi 6898 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ V
87mptex 7219 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โˆˆ V
98a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โˆˆ V)
10 1cnd 11210 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1110negcld 11559 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
12 eqidd 2727 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1))
13 eqidd 2727 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ -1 = -1)
14 id 22 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
15 1cnd 11210 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1615negcld 11559 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
1712, 13, 14, 16fvmptd 6998 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘—) = -1)
1817adantl 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘—) = -1)
195, 6, 9, 11, 18climconst 15490 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โ‡ -1)
207mptex 7219 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ V
2120a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ V)
22 climneg.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
23 neg1cn 12327 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)
2524fvmpt2 7002 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) = -1)
2623, 25mpan2 688 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) = -1)
2726, 23eqeltrdi 2835 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2827adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 climneg.6 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
30 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
3129negcld 11559 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ -(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
32 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))
3332fvmpt2 7002 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง -(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3430, 31, 33syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3529mulm1d 11667 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (-1 ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3626eqcomd 2732 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ -1 = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜))
3736adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ -1 = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜))
3837oveq1d 7419 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (-1 ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = (((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
3934, 35, 383eqtr2d 2772 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = (((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39climmulf 44874 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ (-1 ยท ๐ด))
41 climcl 15446 . . . 4 (๐น โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4222, 41syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342mulm1d 11667 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
4440, 43breqtrd 5167 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ -๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โ„ฒwnfc 2877  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110   ยท cmul 11114  -cneg 11446  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823   โ‡ cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  45071
  Copyright terms: Public domain W3C validator