Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 42295
 Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 𝑘𝜑
climneg.2 𝑘𝐹
climneg.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climneg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5 (𝜑𝐹𝐴)
climneg.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climneg (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 𝑘𝜑
2 nfmpt1 5129 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -1)
3 climneg.2 . . 3 𝑘𝐹
4 nfmpt1 5129 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
5 climneg.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climneg.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
75fvexi 6660 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
87mptex 6964 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V)
10 1cnd 10628 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 10976 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1))
13 eqidd 2799 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑗𝑍𝑗𝑍)
15 1cnd 10628 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → 1 ∈ ℂ)
1615negcld 10976 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → -1 ∈ ℂ)
1712, 13, 14, 16fvmptd 6753 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
1817adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
195, 6, 9, 11, 18climconst 14895 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
207mptex 6964 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V)
22 climneg.5 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
23 neg1cn 11742 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
24 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1)
2524fvmpt2 6757 . . . . . 6 ((𝑘𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2623, 25mpan2 690 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2726, 23eqeltrdi 2898 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
2827adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
29 climneg.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
3129negcld 10976 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
32 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
3332fvmpt2 6757 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3430, 31, 33syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3529mulm1d 11084 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
3626eqcomd 2804 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3736adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3837oveq1d 7151 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
3934, 35, 383eqtr2d 2839 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39climmulf 42289 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
41 climcl 14851 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
4222, 41syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4342mulm1d 11084 . 2 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
4440, 43breqtrd 5057 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  Vcvv 3441   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  1c1 10530   · cmul 10534  -cneg 10863  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840 This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  42486
 Copyright terms: Public domain W3C validator