Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 45566
Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 𝑘𝜑
climneg.2 𝑘𝐹
climneg.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climneg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5 (𝜑𝐹𝐴)
climneg.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climneg (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 𝑘𝜑
2 nfmpt1 5256 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -1)
3 climneg.2 . . 3 𝑘𝐹
4 nfmpt1 5256 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
5 climneg.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climneg.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
75fvexi 6921 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
87mptex 7243 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V)
10 1cnd 11254 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 11605 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1))
13 eqidd 2736 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑗𝑍𝑗𝑍)
15 1cnd 11254 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → 1 ∈ ℂ)
1615negcld 11605 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → -1 ∈ ℂ)
1712, 13, 14, 16fvmptd 7023 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
1817adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
195, 6, 9, 11, 18climconst 15576 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
207mptex 7243 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V)
22 climneg.5 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
23 neg1cn 12378 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
24 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1)
2524fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑘𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2623, 25mpan2 691 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2726, 23eqeltrdi 2847 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
2827adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
29 climneg.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
3129negcld 11605 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
32 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
3332fvmpt2 7027 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3430, 31, 33syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3529mulm1d 11713 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
3626eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3736adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3837oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
3934, 35, 383eqtr2d 2781 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39climmulf 45560 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
41 climcl 15532 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
4222, 41syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4342mulm1d 11713 . 2 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
4440, 43breqtrd 5174 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491  cz 12611  cuz 12876  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  45757
  Copyright terms: Public domain W3C validator