Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 43858
Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climneg.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climneg.3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climneg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climneg.5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climneg.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
climneg (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ -๐ด)
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 nfmpt1 5214 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)
3 climneg.2 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐น
4 nfmpt1 5214 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))
5 climneg.3 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
6 climneg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
75fvexi 6857 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ V
87mptex 7174 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โˆˆ V
98a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โˆˆ V)
10 1cnd 11151 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1110negcld 11500 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
12 eqidd 2738 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1))
13 eqidd 2738 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ -1 = -1)
14 id 22 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
15 1cnd 11151 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1615negcld 11500 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
1712, 13, 14, 16fvmptd 6956 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘—) = -1)
1817adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘—) = -1)
195, 6, 9, 11, 18climconst 15426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) โ‡ -1)
207mptex 7174 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ V
2120a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ V)
22 climneg.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
23 neg1cn 12268 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)
2524fvmpt2 6960 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) = -1)
2623, 25mpan2 690 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) = -1)
2726, 23eqeltrdi 2846 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2827adantl 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 climneg.6 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
30 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
3129negcld 11500 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ -(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
32 eqid 2737 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))
3332fvmpt2 6960 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง -(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3430, 31, 33syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3529mulm1d 11608 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (-1 ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = -(๐นโ€˜๐‘˜))
3626eqcomd 2743 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ -1 = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜))
3736adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ -1 = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜))
3837oveq1d 7373 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (-1 ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = (((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
3934, 35, 383eqtr2d 2783 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜))โ€˜๐‘˜) = (((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -1)โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39climmulf 43852 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ (-1 ยท ๐ด))
41 climcl 15382 . . . 4 (๐น โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4222, 41syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4342mulm1d 11608 . 2 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
4440, 43breqtrd 5132 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ -(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‡ -๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107  โ„ฒwnfc 2888  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  1c1 11053   ยท cmul 11057  -cneg 11387  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764   โ‡ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  44049
  Copyright terms: Public domain W3C validator