Theorem climneg 45720

Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climneg.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climneg.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climneg.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climneg.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climneg.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climneg	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -𝐴)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climneg.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5188	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)
3		climneg.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		nfmpt1 5188	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
5		climneg.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climneg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	5	fvexi 6836	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ∈ V)
10		1cnd 11107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1))
13		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
15		1cnd 11107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 1 ∈ ℂ)
16	15	negcld 11459	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → -1 ∈ ℂ)
17	12, 13, 14, 16	fvmptd 6936	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
19	5, 6, 9, 11, 18	climconst 15450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
20	7	mptex 7157	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
22		climneg.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
23		neg1cn 12110	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
24		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)
25	24	fvmpt2 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
26	23, 25	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
27	26, 23	eqeltrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
29		climneg.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
31	29	negcld 11459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
32		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
33	32	fvmpt2 6940	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
34	30, 31, 33	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
35	29	mulm1d 11569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · (𝐹‘𝑘)) = -(𝐹‘𝑘))
36	26	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → -1 = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -1 = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
38	37	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · (𝐹‘𝑘)) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
39	34, 35, 38	3eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39	climmulf 45714	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
41		climcl 15406	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
42	22, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	mulm1d 11569	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
44	40, 43	breqtrd 5115	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  Vcvv 3436   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   · cmul 11011  -cneg 11345  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395

This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  45909