Theorem climneg 45970

Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climneg.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climneg.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climneg.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climneg.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climneg.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climneg	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -𝐴)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climneg.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5199	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)
3		climneg.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		nfmpt1 5199	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
5		climneg.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climneg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	5	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7179	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ∈ V)
10		1cnd 11139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1))
13		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
15		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 1 ∈ ℂ)
16	15	negcld 11491	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → -1 ∈ ℂ)
17	12, 13, 14, 16	fvmptd 6957	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
19	5, 6, 9, 11, 18	climconst 15478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
20	7	mptex 7179	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
22		climneg.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
23		neg1cn 12142	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)
25	24	fvmpt2 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
26	23, 25	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
27	26, 23	eqeltrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
29		climneg.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
31	29	negcld 11491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
32		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
33	32	fvmpt2 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
34	30, 31, 33	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
35	29	mulm1d 11601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · (𝐹‘𝑘)) = -(𝐹‘𝑘))
36	26	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → -1 = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -1 = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
38	37	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1 · (𝐹‘𝑘)) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
39	34, 35, 38	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39	climmulf 45964	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
41		climcl 15434	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
42	22, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	mulm1d 11601	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
44	40, 43	breqtrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043  -cneg 11377  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  46159