Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climneg 45625
Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1 𝑘𝜑
climneg.2 𝑘𝐹
climneg.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climneg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climneg.5 (𝜑𝐹𝐴)
climneg.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climneg (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climneg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3 𝑘𝜑
2 nfmpt1 5250 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -1)
3 climneg.2 . . 3 𝑘𝐹
4 nfmpt1 5250 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
5 climneg.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climneg.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
75fvexi 6920 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
87mptex 7243 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ∈ V)
10 1cnd 11256 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 11607 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1))
13 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 = 𝑗) → -1 = -1)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑗𝑍𝑗𝑍)
15 1cnd 11256 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → 1 ∈ ℂ)
1615negcld 11607 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → -1 ∈ ℂ)
1712, 13, 14, 16fvmptd 7023 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
1817adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑗) = -1)
195, 6, 9, 11, 18climconst 15579 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -1) ⇝ -1)
207mptex 7243 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V)
22 climneg.5 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
23 neg1cn 12380 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ -1) = (𝑘𝑍 ↦ -1)
2524fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑘𝑍 ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2623, 25mpan2 691 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) = -1)
2726, 23eqeltrdi 2849 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
2827adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
29 climneg.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
3129negcld 11607 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
32 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
3332fvmpt2 7027 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3430, 31, 33syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
3529mulm1d 11715 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
3626eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3736adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 = ((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘))
3837oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1 · (𝐹𝑘)) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
3934, 35, 383eqtr2d 2783 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = (((𝑘𝑍 ↦ -1)‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 21, 22, 28, 29, 39climmulf 45619 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (-1 · 𝐴))
41 climcl 15535 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
4222, 41syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4342mulm1d 11715 . 2 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
4440, 43breqtrd 5169 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493  cz 12613  cuz 12878  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  45816
  Copyright terms: Public domain W3C validator