Theorem ntrivcvgmullem 15992

Description: Lemma for ntrivcvgmul 15993. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmullem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmullem.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6	⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7	⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
ntrivcvgmullem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmullem	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤, 𝑞)   𝑀(𝑤, 𝑘, 𝑞)   𝑁(𝑤, 𝑞)   𝑋(𝑤, 𝑘, 𝑞)   𝑌(𝑘, 𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmullem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
2		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
3		ntrivcvgmullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
4		ntrivcvgmullem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		uzssz 12911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	4, 5	eqsstri 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
7		ntrivcvgmullem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8	6, 7	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 1	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10		eluz 12904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
12	3, 11	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
13		ntrivcvgmullem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14		ntrivcvgmullem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
15	4	uztrn2 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	7, 15	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
17		ntrivcvgmullem.8	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	16, 17	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	2, 12, 13, 14, 18	ntrivcvgtail 15991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
20	19	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21		climcl 15588	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23		ntrivcvgmullem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24		climcl 15588	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌 → 𝑌 ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27		ntrivcvgmullem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
28	22, 25, 26, 27	mulne0d 11893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑃) = (ℤ≥‘𝑃)
30		seqex 14069	. . . . 5 ⊢ seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
32	4	uztrn2 12909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	1, 32	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 17	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	29, 9, 34	prodf 15978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
36	35	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37		ntrivcvgmullem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
38	33, 37	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
39	29, 9, 38	prodf 15978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
42		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
43	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑍)
44		elfzuz 13576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
45	43, 44, 32	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
46	42, 45, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
47	42, 45, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
48		ntrivcvgmullem.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
49	42, 45, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
50	41, 46, 47, 49	prodfmul 15981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
51	29, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50	climmul 15722	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53		neeq1 3019	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
55	53, 54	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
56	52, 55	spcev 3563	. . 3 ⊢ (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
57	28, 51, 56	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58		seqeq1 14070	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
59	58	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
60	59	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
61	60	exbidv 1954	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
62	61	rspcev 3579	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
63	1, 57, 62	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563  seqcseq 14067   ⇝ cli 15573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577

This theorem is used by:  ntrivcvgmul  15993