Theorem ntrivcvgmullem 15843

Description: Lemma for ntrivcvgmul 15844. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmullem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmullem.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6	⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7	⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
ntrivcvgmullem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmullem	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤,𝑞)   𝑀(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑁(𝑤,𝑞)   𝑋(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑌(𝑘,𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmullem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
3		ntrivcvgmullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
4		ntrivcvgmullem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		uzssz 12790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	4, 5	eqsstri 3990	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
7		ntrivcvgmullem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8	6, 7	sselid 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 1	sselid 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10		eluz 12783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
12	3, 11	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
13		ntrivcvgmullem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14		ntrivcvgmullem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
15	4	uztrn2 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	7, 15	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
17		ntrivcvgmullem.8	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	16, 17	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	2, 12, 13, 14, 18	ntrivcvgtail 15842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
20	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21		climcl 15441	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23		ntrivcvgmullem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24		climcl 15441	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌 → 𝑌 ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26	19	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27		ntrivcvgmullem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
28	22, 25, 26, 27	mulne0d 11806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑃) = (ℤ≥‘𝑃)
30		seqex 13944	. . . . 5 ⊢ seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
32	4	uztrn2 12788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	1, 32	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 17	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	29, 9, 34	prodf 15829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
36	35	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37		ntrivcvgmullem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
38	33, 37	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
39	29, 9, 38	prodf 15829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
42		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
43	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑍)
44		elfzuz 13457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
45	43, 44, 32	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
46	42, 45, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
47	42, 45, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
48		ntrivcvgmullem.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
49	42, 45, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
50	41, 46, 47, 49	prodfmul 15832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
51	29, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50	climmul 15575	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53		neeq1 2987	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
55	53, 54	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
56	52, 55	spcev 3569	. . 3 ⊢ (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
57	28, 51, 56	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58		seqeq1 13945	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
59	58	breq1d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
60	59	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
61	60	exbidv 1921	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
62	61	rspcev 3585	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
63	1, 57, 62	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   · cmul 11049   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  seqcseq 13942   ⇝ cli 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430

This theorem is referenced by:  ntrivcvgmul  15844