MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgmullem 15871
Description: Lemma for ntrivcvgmul 15872. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgmullem.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ntrivcvgmullem.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0)
ntrivcvgmullem.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0)
ntrivcvgmullem.6 (πœ‘ β†’ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7 (πœ‘ β†’ seq𝑃( Β· , 𝐺) ⇝ π‘Œ)
ntrivcvgmullem.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
ntrivcvgmullem.9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
ntrivcvgmullem.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑃)
ntrivcvgmullem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgmullem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑍 βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seqπ‘ž( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐹   𝐻,π‘ž,𝑀   𝑃,π‘ž,𝑀   𝑀,π‘Œ   𝑍,π‘ž   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐻   πœ‘,π‘˜   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,π‘ž)   𝐹(π‘ž)   𝐺(𝑀,π‘ž)   𝑀(𝑀,π‘˜,π‘ž)   𝑁(𝑀,π‘ž)   𝑋(𝑀,π‘˜,π‘ž)   π‘Œ(π‘˜,π‘ž)   𝑍(𝑀)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgmullem.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑍)
2 eqid 2727 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
3 ntrivcvgmullem.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑃)
4 ntrivcvgmullem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 uzssz 12865 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
64, 5eqsstri 4012 . . . . . . . . . 10 𝑍 βŠ† β„€
7 ntrivcvgmullem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
86, 7sselid 3976 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
96, 1sselid 3976 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
10 eluz 12858 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑁 ≀ 𝑃))
118, 9, 10syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑁 ≀ 𝑃))
123, 11mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
13 ntrivcvgmullem.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14 ntrivcvgmullem.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0)
154uztrn2 12863 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
167, 15sylan 579 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
17 ntrivcvgmullem.8 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1816, 17syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
192, 12, 13, 14, 18ntrivcvgtail 15870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹))))
2019simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑃( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)))
21 climcl 15467 . . . . 5 (seq𝑃( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) ∈ β„‚)
2220, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) ∈ β„‚)
23 ntrivcvgmullem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑃( Β· , 𝐺) ⇝ π‘Œ)
24 climcl 15467 . . . . 5 (seq𝑃( Β· , 𝐺) ⇝ π‘Œ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
2523, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
2619simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) β‰  0)
27 ntrivcvgmullem.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0)
2822, 25, 26, 27mulne0d 11888 . . 3 (πœ‘ β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) β‰  0)
29 eqid 2727 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ) = (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)
30 seqex 13992 . . . . 5 seq𝑃( Β· , 𝐻) ∈ V
3130a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑃( Β· , 𝐻) ∈ V)
324uztrn2 12863 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
331, 32sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3433, 17syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3529, 9, 34prodf 15857 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑃( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)βŸΆβ„‚)
3635ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ (seq𝑃( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
37 ntrivcvgmullem.9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3833, 37syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3929, 9, 38prodf 15857 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑃( Β· , 𝐺):(β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)βŸΆβ„‚)
4039ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ (seq𝑃( Β· , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
41 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ))
42 simpll 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑃...𝑗)) β†’ πœ‘)
431adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑍)
44 elfzuz 13521 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑃...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ))
4543, 44, 32syl2an 595 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑃...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4642, 45, 17syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑃...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4742, 45, 37syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑃...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
48 ntrivcvgmullem.b . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
4942, 45, 48syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑃...𝑗)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
5041, 46, 47, 49prodfmul 15860 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ƒ)) β†’ (seq𝑃( Β· , 𝐻)β€˜π‘—) = ((seq𝑃( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) Β· (seq𝑃( Β· , 𝐺)β€˜π‘—)))
5129, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50climmul 15601 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ))
52 ovex 7447 . . . 4 (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) ∈ V
53 neeq1 2998 . . . . 5 (𝑀 = (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) β†’ (𝑀 β‰  0 ↔ (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) β‰  0))
54 breq2 5146 . . . . 5 (𝑀 = (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) β†’ (seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀 ↔ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ)))
5553, 54anbi12d 630 . . . 4 (𝑀 = (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) β†’ ((𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀) ↔ ((( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ))))
5652, 55spcev 3591 . . 3 (((( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ) β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ (( ⇝ β€˜seq𝑃( Β· , 𝐹)) Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀))
5728, 51, 56syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀))
58 seqeq1 13993 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑃 β†’ seqπ‘ž( Β· , 𝐻) = seq𝑃( Β· , 𝐻))
5958breq1d 5152 . . . . 5 (π‘ž = 𝑃 β†’ (seqπ‘ž( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀 ↔ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀))
6059anbi2d 628 . . . 4 (π‘ž = 𝑃 β†’ ((𝑀 β‰  0 ∧ seqπ‘ž( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀) ↔ (𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀)))
6160exbidv 1917 . . 3 (π‘ž = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seqπ‘ž( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀)))
6261rspcev 3607 . 2 ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑃( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑍 βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seqπ‘ž( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀))
631, 57, 62syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑍 βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seqπ‘ž( Β· , 𝐻) ⇝ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508  seqcseq 13990   ⇝ cli 15452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmul  15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator