MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgmullem 15844
Description: Lemma for ntrivcvgmul 15845. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgmullem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgmullem.2 (𝜑𝑁𝑍)
ntrivcvgmullem.3 (𝜑𝑃𝑍)
ntrivcvgmullem.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5 (𝜑𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6 (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a (𝜑𝑁𝑃)
ntrivcvgmullem.b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgmullem (𝜑 → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤,𝑞)   𝑀(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑁(𝑤,𝑞)   𝑋(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑌(𝑘,𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgmullem.3 . 2 (𝜑𝑃𝑍)
2 eqid 2724 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
3 ntrivcvgmullem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑃)
4 ntrivcvgmullem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 uzssz 12840 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5eqsstri 4008 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
7 ntrivcvgmullem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑍)
86, 7sselid 3972 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96, 1sselid 3972 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10 eluz 12833 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑃))
118, 9, 10syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑃))
123, 11mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
13 ntrivcvgmullem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14 ntrivcvgmullem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≠ 0)
154uztrn2 12838 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
167, 15sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
17 ntrivcvgmullem.8 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1816, 17syldan 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
192, 12, 13, 14, 18ntrivcvgtail 15843 . . . . . 6 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
2019simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21 climcl 15440 . . . . 5 (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23 ntrivcvgmullem.7 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24 climcl 15440 . . . . 5 (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌𝑌 ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
2619simpld 494 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27 ntrivcvgmullem.5 . . . 4 (𝜑𝑌 ≠ 0)
2822, 25, 26, 27mulne0d 11863 . . 3 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29 eqid 2724 . . . 4 (ℤ𝑃) = (ℤ𝑃)
30 seqex 13965 . . . . 5 seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
3130a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
324uztrn2 12838 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑘𝑍)
331, 32sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑘𝑍)
3433, 17syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3529, 9, 34prodf 15830 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ𝑃)⟶ℂ)
3635ffvelcdmda 7076 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37 ntrivcvgmullem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3833, 37syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3929, 9, 38prodf 15830 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ𝑃)⟶ℂ)
4039ffvelcdmda 7076 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑃))
42 simpll 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
431adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑃𝑍)
44 elfzuz 13494 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑃))
4543, 44, 32syl2an 595 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘𝑍)
4642, 45, 17syl2anc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4742, 45, 37syl2anc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
48 ntrivcvgmullem.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
4942, 45, 48syl2anc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5041, 46, 47, 49prodfmul 15833 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
5129, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50climmul 15574 . . 3 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52 ovex 7434 . . . 4 (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53 neeq1 2995 . . . . 5 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54 breq2 5142 . . . . 5 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
5553, 54anbi12d 630 . . . 4 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
5652, 55spcev 3588 . . 3 (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
5728, 51, 56syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58 seqeq1 13966 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
5958breq1d 5148 . . . . 5 (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
6059anbi2d 628 . . . 4 (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
6160exbidv 1916 . . 3 (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
6261rspcev 3604 . 2 ((𝑃𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
631, 57, 62syl2anc 583 1 (𝜑 → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062  Vcvv 3466   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111  cle 11246  cz 12555  cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963  cli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmul  15845
  Copyright terms: Public domain W3C validator