MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgmullem 15613
Description: Lemma for ntrivcvgmul 15614. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgmullem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgmullem.2 (𝜑𝑁𝑍)
ntrivcvgmullem.3 (𝜑𝑃𝑍)
ntrivcvgmullem.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5 (𝜑𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6 (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a (𝜑𝑁𝑃)
ntrivcvgmullem.b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgmullem (𝜑 → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤,𝑞)   𝑀(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑁(𝑤,𝑞)   𝑋(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑌(𝑘,𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgmullem.3 . 2 (𝜑𝑃𝑍)
2 eqid 2738 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
3 ntrivcvgmullem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑃)
4 ntrivcvgmullem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 uzssz 12603 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5eqsstri 3955 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
7 ntrivcvgmullem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑍)
86, 7sselid 3919 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96, 1sselid 3919 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10 eluz 12596 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑃))
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑃))
123, 11mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
13 ntrivcvgmullem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14 ntrivcvgmullem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≠ 0)
154uztrn2 12601 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
167, 15sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
17 ntrivcvgmullem.8 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1816, 17syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
192, 12, 13, 14, 18ntrivcvgtail 15612 . . . . . 6 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
2019simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21 climcl 15208 . . . . 5 (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23 ntrivcvgmullem.7 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24 climcl 15208 . . . . 5 (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌𝑌 ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
2619simpld 495 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27 ntrivcvgmullem.5 . . . 4 (𝜑𝑌 ≠ 0)
2822, 25, 26, 27mulne0d 11627 . . 3 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29 eqid 2738 . . . 4 (ℤ𝑃) = (ℤ𝑃)
30 seqex 13723 . . . . 5 seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
3130a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
324uztrn2 12601 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑘𝑍)
331, 32sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑘𝑍)
3433, 17syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3529, 9, 34prodf 15599 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ𝑃)⟶ℂ)
3635ffvelrnda 6961 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37 ntrivcvgmullem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3833, 37syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3929, 9, 38prodf 15599 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ𝑃)⟶ℂ)
4039ffvelrnda 6961 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑃))
42 simpll 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
431adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑃𝑍)
44 elfzuz 13252 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑃))
4543, 44, 32syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘𝑍)
4642, 45, 17syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4742, 45, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
48 ntrivcvgmullem.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
4942, 45, 48syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5041, 46, 47, 49prodfmul 15602 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
5129, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50climmul 15342 . . 3 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52 ovex 7308 . . . 4 (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53 neeq1 3006 . . . . 5 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54 breq2 5078 . . . . 5 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
5553, 54anbi12d 631 . . . 4 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
5652, 55spcev 3545 . . 3 (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
5728, 51, 56syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58 seqeq1 13724 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
5958breq1d 5084 . . . . 5 (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
6059anbi2d 629 . . . 4 (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
6160exbidv 1924 . . 3 (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
6261rspcev 3561 . 2 ((𝑃𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
631, 57, 62syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876  cle 11010  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721  cli 15193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmul  15614
  Copyright terms: Public domain W3C validator