Theorem ntrivcvgmullem 15978

Description: Lemma for ntrivcvgmul 15979. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmullem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmullem.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6	⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7	⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
ntrivcvgmullem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmullem	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤, 𝑞)   𝑀(𝑤, 𝑘, 𝑞)   𝑁(𝑤, 𝑞)   𝑋(𝑤, 𝑘, 𝑞)   𝑌(𝑘, 𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmullem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
2		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
3		ntrivcvgmullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
4		ntrivcvgmullem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		uzssz 12899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	4, 5	eqsstri 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
7		ntrivcvgmullem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8	6, 7	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 1	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10		eluz 12892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
12	3, 11	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
13		ntrivcvgmullem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14		ntrivcvgmullem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
15	4	uztrn2 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	7, 15	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
17		ntrivcvgmullem.8	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	16, 17	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	2, 12, 13, 14, 18	ntrivcvgtail 15977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
20	19	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21		climcl 15574	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23		ntrivcvgmullem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24		climcl 15574	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌 → 𝑌 ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27		ntrivcvgmullem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
28	22, 25, 26, 27	mulne0d 11881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑃) = (ℤ≥‘𝑃)
30		seqex 14057	. . . . 5 ⊢ seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
32	4	uztrn2 12897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	1, 32	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 17	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	29, 9, 34	prodf 15964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
36	35	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37		ntrivcvgmullem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
38	33, 37	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
39	29, 9, 38	prodf 15964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
42		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
43	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑍)
44		elfzuz 13564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
45	43, 44, 32	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
46	42, 45, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
47	42, 45, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
48		ntrivcvgmullem.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
49	42, 45, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
50	41, 46, 47, 49	prodfmul 15967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
51	29, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50	climmul 15708	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53		neeq1 3022	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
55	53, 54	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
56	52, 55	spcev 3567	. . 3 ⊢ (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
57	28, 51, 56	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58		seqeq1 14058	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
59	58	breq1d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
60	59	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
61	60	exbidv 1954	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
62	61	rspcev 3583	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
63	1, 57, 62	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   · cmul 11120   ≤ cle 11259  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  seqcseq 14055   ⇝ cli 15559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563

This theorem is used by:  ntrivcvgmul  15979