Theorem ntrivcvgmullem 15815

Description: Lemma for ntrivcvgmul 15816. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmullem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmullem.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6	⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7	⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
ntrivcvgmullem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmullem	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤,𝑞)   𝑀(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑁(𝑤,𝑞)   𝑋(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑌(𝑘,𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmullem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
2		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
3		ntrivcvgmullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
4		ntrivcvgmullem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		uzssz 12763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	4, 5	eqsstri 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
7		ntrivcvgmullem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8	6, 7	sselid 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 1	sselid 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10		eluz 12756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
12	3, 11	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
13		ntrivcvgmullem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14		ntrivcvgmullem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
15	4	uztrn2 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	7, 15	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
17		ntrivcvgmullem.8	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	16, 17	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	2, 12, 13, 14, 18	ntrivcvgtail 15814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
20	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21		climcl 15413	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23		ntrivcvgmullem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24		climcl 15413	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌 → 𝑌 ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26	19	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27		ntrivcvgmullem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
28	22, 25, 26, 27	mulne0d 11780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑃) = (ℤ≥‘𝑃)
30		seqex 13917	. . . . 5 ⊢ seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
32	4	uztrn2 12761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	1, 32	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 17	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	29, 9, 34	prodf 15801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
36	35	ffvelcdmda 7026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37		ntrivcvgmullem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
38	33, 37	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
39	29, 9, 38	prodf 15801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
42		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
43	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑍)
44		elfzuz 13427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
45	43, 44, 32	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
46	42, 45, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
47	42, 45, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
48		ntrivcvgmullem.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
49	42, 45, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
50	41, 46, 47, 49	prodfmul 15804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
51	29, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50	climmul 15547	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52		ovex 7388	. . . 4 ⊢ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53		neeq1 2991	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54		breq2 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
55	53, 54	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
56	52, 55	spcev 3557	. . 3 ⊢ (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
57	28, 51, 56	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58		seqeq1 13918	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
59	58	breq1d 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
60	59	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
61	60	exbidv 1922	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
62	61	rspcev 3573	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
63	1, 57, 62	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017   · cmul 11022   ≤ cle 11158  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ...cfz 13414  seqcseq 13915   ⇝ cli 15398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402

This theorem is referenced by:  ntrivcvgmul  15816