Theorem ntrivcvgmullem 15922

Description: Lemma for ntrivcvgmul 15923. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgmullem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgmullem.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
ntrivcvgmullem.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6	⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7	⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
ntrivcvgmullem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgmullem	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤,𝑞)   𝑀(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑁(𝑤,𝑞)   𝑋(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑌(𝑘,𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgmullem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑍)
2		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
3		ntrivcvgmullem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑃)
4		ntrivcvgmullem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		uzssz 12854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
6	4, 5	eqsstri 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
7		ntrivcvgmullem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
8	6, 7	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 1	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10		eluz 12847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
11	8, 9, 10	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑃))
12	3, 11	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
13		ntrivcvgmullem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14		ntrivcvgmullem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
15	4	uztrn2 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	7, 15	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
17		ntrivcvgmullem.8	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	16, 17	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	2, 12, 13, 14, 18	ntrivcvgtail 15921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
20	19	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21		climcl 15517	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23		ntrivcvgmullem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24		climcl 15517	. . . . 5 ⊢ (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌 → 𝑌 ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
26	19	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27		ntrivcvgmullem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
28	22, 25, 26, 27	mulne0d 11833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑃) = (ℤ≥‘𝑃)
30		seqex 14010	. . . . 5 ⊢ seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
32	4	uztrn2 12852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	1, 32	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 17	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	29, 9, 34	prodf 15908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
36	35	ffvelcdmda 7060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37		ntrivcvgmullem.9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
38	33, 37	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
39	29, 9, 38	prodf 15908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ≥‘𝑃)⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
42		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
43	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑍)
44		elfzuz 13519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑃))
45	43, 44, 32	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
46	42, 45, 17	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
47	42, 45, 37	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
48		ntrivcvgmullem.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
49	42, 45, 48	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
50	41, 46, 47, 49	prodfmul 15911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
51	29, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50	climmul 15651	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52		ovex 7424	. . . 4 ⊢ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53		neeq1 3018	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54		breq2 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
55	53, 54	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
56	52, 55	spcev 3564	. . 3 ⊢ (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
57	28, 51, 56	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58		seqeq1 14011	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
59	58	breq1d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
60	59	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
61	60	exbidv 1940	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
62	61	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
63	1, 57, 62	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067   · cmul 11072   ≤ cle 11211  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  seqcseq 14008   ⇝ cli 15502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506

This theorem is referenced by:  ntrivcvgmul  15923