Theorem fclim 15494

Description: The limit relation is function-like, and with codomain the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fclim	⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ

Proof of Theorem fclim

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15433	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
2		climuni 15493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
3	2	ax-gen 1798	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
4	3	ax-gen 1798	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
5	4	ax-gen 1798	. . . 4 ⊢ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
6		dffun2 6551	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝ ↔ (Rel ⇝ ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7	1, 5, 6	mpbir2an 710	. . 3 ⊢ Fun ⇝
8		funfn 6576	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ ↔ ⇝ Fn dom ⇝ )
9	7, 8	mpbi 229	. 2 ⊢ ⇝ Fn dom ⇝
10		vex 3479	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
11	10	elrn 5892	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran ⇝ ↔ ∃𝑥 𝑥 ⇝ 𝑦)
12		climcl 15440	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
13	12	exlimiv 1934	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
14	11, 13	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran ⇝ → 𝑦 ∈ ℂ)
15	14	ssriv 3986	. 2 ⊢ ran ⇝ ⊆ ℂ
16		df-f 6545	. 2 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ ↔ ( ⇝ Fn dom ⇝ ∧ ran ⇝ ⊆ ℂ))
17	9, 15, 16	mpbir2an 710	1 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397  ∀wal 1540  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  Rel wrel 5681  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ℂcc 11105   ⇝ cli 15425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429

This theorem is referenced by:  climdm  15495  sum0  15664  sumz  15665  fsumsers  15671  isumclim  15700  isumcl  15704  ntrivcvgfvn0  15842  ntrivcvgtail  15843  zprodn0  15880  iprodclim  15939  iprodcl  15942