Theorem fclim 15460

Description: The limit relation is function-like, and with codomain the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fclim	⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ

Proof of Theorem fclim

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15399	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
2		climuni 15459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
3	2	ax-gen 1795	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
4	3	ax-gen 1795	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
5	4	ax-gen 1795	. . . 4 ⊢ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
6		dffun2 6492	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝ ↔ (Rel ⇝ ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ⇝ 𝑦 ∧ 𝑥 ⇝ 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7	1, 5, 6	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ Fun ⇝
8		funfn 6512	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ ↔ ⇝ Fn dom ⇝ )
9	7, 8	mpbi 230	. 2 ⊢ ⇝ Fn dom ⇝
10		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
11	10	elrn 5836	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran ⇝ ↔ ∃𝑥 𝑥 ⇝ 𝑦)
12		climcl 15406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
13	12	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
14	11, 13	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran ⇝ → 𝑦 ∈ ℂ)
15	14	ssriv 3939	. 2 ⊢ ran ⇝ ⊆ ℂ
16		df-f 6486	. 2 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ ↔ ( ⇝ Fn dom ⇝ ∧ ran ⇝ ⊆ ℂ))
17	9, 15, 16	mpbir2an 711	1 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ran crn 5620  Rel wrel 5624  Fun wfun 6476   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ℂcc 11007   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395

This theorem is referenced by:  climdm  15461  sum0  15628  sumz  15629  fsumsers  15635  isumclim  15664  isumcl  15668  ntrivcvgfvn0  15806  ntrivcvgtail  15807  zprodn0  15846  iprodclim  15905  iprodcl  15908