MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclim 15427
Description: The limit relation is function-like, and with codomain the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fclim ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ

Proof of Theorem fclim
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 15366 . . . 4 Rel ⇝
2 climuni 15426 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
32ax-gen 1797 . . . . . 6 𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
43ax-gen 1797 . . . . 5 𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
54ax-gen 1797 . . . 4 𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
6 dffun2 6503 . . . 4 (Fun ⇝ ↔ (Rel ⇝ ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
71, 5, 6mpbir2an 709 . . 3 Fun ⇝
8 funfn 6528 . . 3 (Fun ⇝ ↔ ⇝ Fn dom ⇝ )
97, 8mpbi 229 . 2 ⇝ Fn dom ⇝
10 vex 3447 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1110elrn 5847 . . . 4 (𝑦 ∈ ran ⇝ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑦)
12 climcl 15373 . . . . 5 (𝑥𝑦𝑦 ∈ ℂ)
1312exlimiv 1933 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝑦𝑦 ∈ ℂ)
1411, 13sylbi 216 . . 3 (𝑦 ∈ ran ⇝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1514ssriv 3946 . 2 ran ⇝ ⊆ ℂ
16 df-f 6497 . 2 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ ↔ ( ⇝ Fn dom ⇝ ∧ ran ⇝ ⊆ ℂ))
179, 15, 16mpbir2an 709 1 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1539  wex 1781  wcel 2106  wss 3908   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  ran crn 5632  Rel wrel 5636  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  wf 6489  cc 11045  cli 15358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-seq 13899  df-exp 13960  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362
This theorem is referenced by:  climdm  15428  sum0  15598  sumz  15599  fsumsers  15605  isumclim  15634  isumcl  15638  ntrivcvgfvn0  15776  ntrivcvgtail  15777  zprodn0  15814  iprodclim  15873  iprodcl  15876
  Copyright terms: Public domain W3C validator