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Theorem climsuse 44324
Description: A subsequence 𝐺 of a converging sequence 𝐹, converges to the same limit. 𝐼 is the strictly increasing and it is used to index the subsequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1 𝑘𝜑
climsuse.3 𝑘𝐹
climsuse.2 𝑘𝐺
climsuse.4 𝑘𝐼
climsuse.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsuse.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsuse.7 (𝜑𝐹𝑋)
climsuse.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsuse.9 (𝜑𝐹𝐴)
climsuse.10 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
climsuse.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
climsuse.12 (𝜑𝐺𝑌)
climsuse.13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsuse (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
2 climcl 15443 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 nfv 1918 . . 3 𝑥𝜑
5 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
6 climsuse.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
85, 7ifclda 4564 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ)
9 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)
10 nfra1 3282 . . . . . . . 8 𝑖𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
119, 10nfan 1903 . . . . . . 7 𝑖(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
12 simp-4l 782 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
13 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
1412, 13jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑗 ∈ ℤ))
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀𝑗)
176anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
19 eluz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2116, 20mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
22 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝜑)
23 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2422, 6, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2521, 24ifclda 4564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
26 uzss 12845 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
28 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
2927, 28sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ 𝑍)
3029sseld 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖𝑍))
3114, 15, 30sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
32 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝜑
33 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑖𝑍
3432, 33nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
35 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐺
36 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑖
3735, 36nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐺𝑖)
38 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐹
39 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝐼
4039, 36nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖)
4138, 40nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖))
4237, 41nfeq 2917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))
4334, 42nfim 1900 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
44 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
4544anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
46 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑖))
47 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝐼𝑘)) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
4846, 47eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)) ↔ (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))))
4945, 48imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))))
50 climsuse.13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
5143, 49, 50chvarfv 2234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
5228eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5352biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
55 uzss 12845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
57 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
58 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(𝑖 + 1)
5939, 58nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1))
60 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
61 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘 +
62 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘1
6340, 61, 62nfov 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘((𝐼𝑖) + 1)
6460, 63nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6559, 64nfel 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6634, 65nfim 1900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
67 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) = (𝐼‘(𝑖 + 1)))
68 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼𝑘) = (𝐼𝑖))
6968fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) = (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7067, 69eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) ↔ (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))))
7145, 70imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))))
72 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
7366, 71, 72chvarfv 2234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7428, 6, 57, 73climsuselem1 44323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖))
7556, 74sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
7675, 28eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
7776ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖𝑍 → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
7877imdistani 570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
7933nfci 2887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑍
8040, 79nfel 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖) ∈ 𝑍
8132, 80nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
8241nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ
8381, 82nfim 1900 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
84 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝑘𝑍 ↔ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8584anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)))
86 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
8786eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
8885, 87imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)))
89 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9040, 83, 88, 89vtoclgf 3555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑖) ∈ 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
9176, 78, 90sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
9251, 91eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9312, 31, 92syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9412, 31, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
9594fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
96 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (𝐹𝑖) = (𝐹))
9796eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹) ∈ ℂ))
9896fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹) − 𝐴)))
9998breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
10097, 99anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = → (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥)))
101100cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
102101biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
103102ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
104 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
1051043ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
106 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
107 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
108 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
110 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
1116zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
113 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
114113zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
115112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
116114, 115ifclda 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℝ)
117 max1 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
118112, 105, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
119 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
1201193ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
121112, 116, 109, 118, 120letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀𝑖)
122110, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1231073ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℤ)
124 eluz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
125122, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
126121, 125mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
127126, 28eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
128110, 127jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑖𝑍))
129 eluzelre 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
130128, 75, 1293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
131 max2 13166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
132112, 105, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
133105, 116, 109, 132, 120letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗𝑖)
134 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
135128, 74, 1343syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
136105, 109, 130, 133, 135letrd 11371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ (𝐼𝑖))
137 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
138 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
139128, 74, 1383syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
140 eluz 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑖) ∈ ℤ) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
141137, 139, 140syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
142136, 141mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
14312, 13, 15, 142syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
144 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (𝐹) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
145144eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((𝐹) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
146144fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (abs‘((𝐹) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
147146breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
148145, 147anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝐼𝑖) → (((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)))
149148rspccva 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
150149simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
151103, 143, 150syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
15295, 151eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
15393, 152jca 513 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
154153ex 414 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
15511, 154ralrimi 3255 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
156 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (ℤ𝑙) = (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
157156raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
158157rspcev 3613 . . . . . 6 ((if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
1598, 155, 158syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
160 climsuse.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑋)
161 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑖))
162160, 161clim 15438 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1631, 162mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
164163simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
165164r19.21bi 3249 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
166159, 165r19.29a 3163 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
167166ex 414 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
1684, 167ralrimi 3255 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
169 climsuse.12 . . 3 (𝜑𝐺𝑌)
170 eqidd 2734 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑖))
171169, 170clim 15438 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1723, 168, 171mpbir2and 712 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  cz 12558  cuz 12822  +crp 12974  abscabs 15181  cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  sumnnodd  44346  stirlinglem8  44797
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