Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsuse Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsuse 44622
Description: A subsequence 𝐺 of a converging sequence 𝐹, converges to the same limit. 𝐼 is the strictly increasing and it is used to index the subsequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1 𝑘𝜑
climsuse.3 𝑘𝐹
climsuse.2 𝑘𝐺
climsuse.4 𝑘𝐼
climsuse.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsuse.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsuse.7 (𝜑𝐹𝑋)
climsuse.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsuse.9 (𝜑𝐹𝐴)
climsuse.10 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
climsuse.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
climsuse.12 (𝜑𝐺𝑌)
climsuse.13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsuse (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
2 climcl 15447 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 nfv 1915 . . 3 𝑥𝜑
5 simpllr 772 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
6 climsuse.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76ad4antr 728 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
85, 7ifclda 4562 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ)
9 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)
10 nfra1 3279 . . . . . . . 8 𝑖𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
119, 10nfan 1900 . . . . . . 7 𝑖(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
12 simp-4l 779 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
13 simpllr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
1412, 13jca 510 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑗 ∈ ℤ))
15 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
16 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀𝑗)
176anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
19 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2116, 20mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
22 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝜑)
23 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2422, 6, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2521, 24ifclda 4562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
26 uzss 12849 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
28 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
2927, 28sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ 𝑍)
3029sseld 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖𝑍))
3114, 15, 30sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
32 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝜑
33 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑖𝑍
3432, 33nfan 1900 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
35 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐺
36 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑖
3735, 36nffv 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐺𝑖)
38 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐹
39 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝐼
4039, 36nffv 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖)
4138, 40nffv 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖))
4237, 41nfeq 2914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))
4334, 42nfim 1897 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
44 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
4544anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
46 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑖))
47 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝐼𝑘)) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
4846, 47eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)) ↔ (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))))
4945, 48imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))))
50 climsuse.13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
5143, 49, 50chvarfv 2231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
5228eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5352biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5453adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
55 uzss 12849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
57 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
58 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(𝑖 + 1)
5939, 58nffv 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1))
60 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
61 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘 +
62 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘1
6340, 61, 62nfov 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘((𝐼𝑖) + 1)
6460, 63nffv 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6559, 64nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6634, 65nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
67 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) = (𝐼‘(𝑖 + 1)))
68 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼𝑘) = (𝐼𝑖))
6968fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) = (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7067, 69eleq12d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) ↔ (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))))
7145, 70imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))))
72 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
7366, 71, 72chvarfv 2231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7428, 6, 57, 73climsuselem1 44621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖))
7556, 74sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
7675, 28eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
7776ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖𝑍 → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
7877imdistani 567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
7933nfci 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑍
8040, 79nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖) ∈ 𝑍
8132, 80nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
8241nfel1 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ
8381, 82nfim 1897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
84 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝑘𝑍 ↔ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8584anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)))
86 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
8786eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
8885, 87imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)))
89 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9040, 83, 88, 89vtoclgf 3556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑖) ∈ 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
9176, 78, 90sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
9251, 91eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9312, 31, 92syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9412, 31, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
9594fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
96 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (𝐹𝑖) = (𝐹))
9796eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹) ∈ ℂ))
9896fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹) − 𝐴)))
9998breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
10097, 99anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = → (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥)))
101100cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
102101biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
103102ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
104 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
1051043ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
106 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
107 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
108 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
110 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
1116zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
113 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
114113zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
115112adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
116114, 115ifclda 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℝ)
117 max1 13168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
118112, 105, 117syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
119 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
1201193ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
121112, 116, 109, 118, 120letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀𝑖)
122110, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1231073ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℤ)
124 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
125122, 123, 124syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
126121, 125mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
127126, 28eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
128110, 127jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑖𝑍))
129 eluzelre 12837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
130128, 75, 1293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
131 max2 13170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
132112, 105, 131syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
133105, 116, 109, 132, 120letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗𝑖)
134 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
135128, 74, 1343syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
136105, 109, 130, 133, 135letrd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ (𝐼𝑖))
137 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
138 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
139128, 74, 1383syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
140 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑖) ∈ ℤ) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
141137, 139, 140syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
142136, 141mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
14312, 13, 15, 142syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
144 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (𝐹) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
145144eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((𝐹) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
146144fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (abs‘((𝐹) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
147146breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
148145, 147anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝐼𝑖) → (((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)))
149148rspccva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
150149simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
151103, 143, 150syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
15295, 151eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
15393, 152jca 510 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
154153ex 411 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
15511, 154ralrimi 3252 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
156 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (ℤ𝑙) = (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
157156raleqdv 3323 . . . . . . 7 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
158157rspcev 3611 . . . . . 6 ((if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
1598, 155, 158syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
160 climsuse.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑋)
161 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑖))
162160, 161clim 15442 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1631, 162mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
164163simprd 494 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
165164r19.21bi 3246 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
166159, 165r19.29a 3160 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
167166ex 411 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
1684, 167ralrimi 3252 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
169 climsuse.12 . . 3 (𝜑𝐺𝑌)
170 eqidd 2731 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑖))
171169, 170clim 15442 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1723, 168, 171mpbir2and 709 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wnf 1783  wcel 2104  wnfc 2881  wral 3059  wrex 3068  wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cfv 6542  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cz 12562  cuz 12826  +crp 12978  abscabs 15185  cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-clim 15436
This theorem is referenced by:  sumnnodd  44644  stirlinglem8  45095
  Copyright terms: Public domain W3C validator