Theorem dchrmusumlem 27468

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrmusum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrmusum.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dchrmusumlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrmusumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2		dchrmusum.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		dchrmusum.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
5		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6		dchrmusum.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
7	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		elfzelz 13528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9	8	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
10	2, 3, 4, 5, 7, 9	dchrzrhcl 27191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
11		elfznn 13557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
12	11	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13		mucl 27086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
15	14	zred 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
16	15, 12	nndivred 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
18	10, 17	mulcld 11259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
19	1, 18	fsumcl 15706	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
20		dchrmusum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
21		climcl 15470	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇 → 𝑇 ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
23	22	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
24	19, 23	mulcld 11259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) ∈ ℂ)
25		rpvmasum.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
26		dchrmusum.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
27		dchrmusum.n1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
28		dchrmusum.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
29		dchrmusum.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
30		dchrmusum.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
31	3, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30	dchrisumn0 27467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
32	31	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
33	24, 23, 32	divrecd 12018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) / 𝑇) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇)))
34	19, 23, 32	divcan4d 12021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) / 𝑇) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)))
35	33, 34	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)))
36	35	mpteq2dva 5244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))))
37	22, 31	reccld 12008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑇) ∈ ℂ)
38	37	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑇) ∈ ℂ)
39	3, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30	dchrmusum2 27440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
40		rpssre 13008	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
41		o1const 15591	. . . 4 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (1 / 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
42	40, 37, 41	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
43	24, 38, 39, 42	o1mul2 15596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
44	36, 43	eqeltrrd 2826	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138  +∞cpnf 11270   ≤ cle 11274   − cmin 11469   / cdiv 11896  ℕcn 12237  ℤcz 12583  ℝ⁺crp 13001  [,)cico 13353  ...cfz 13511  ⌊cfl 13782  seqcseq 13993  abscabs 15208   ⇝ cli 15455  𝑂(1)co1 15457  Σcsu 15659  Basecbs 17174  0_gc0g 17415  ℤRHomczrh 21424  ℤ/nℤczn 21427  μcmu 27040  DChrcdchr 27178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-rpss 7723  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-s1 14573  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-o1 15461  df-lo1 15462  df-sum 15660  df-ef 16038  df-e 16039  df-sin 16040  df-cos 16041  df-tan 16042  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-numer 16701  df-denom 16702  df-phi 16729  df-pc 16800  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-qus 17485  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079  df-ghm 19167  df-gim 19212  df-ga 19240  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-od 19482  df-gex 19483  df-pgp 19484  df-lsm 19590  df-pj1 19591  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-cyg 19832  df-dprd 19951  df-dpj 19952  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-2idl 21143  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-zn 21431  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-0p 25612  df-limc 25808  df-dv 25809  df-ply 26135  df-idp 26136  df-coe 26137  df-dgr 26138  df-quot 26239  df-ulm 26326  df-log 26503  df-cxp 26504  df-atan 26812  df-em 26938  df-cht 27042  df-vma 27043  df-chp 27044  df-ppi 27045  df-mu 27046  df-dchr 27179

This theorem is referenced by:  dchrmusum  27470