Theorem climdivf 43134

Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climdivf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climdivf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climdivf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climdivf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climdivf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climdivf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climdivf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climdivf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climdivf.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
climdivf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climdivf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdivf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climdivf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfmpt1 5181	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
4		climdivf.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
5		climdivf.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climdivf.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climdivf.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climdivf.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
9		climdivf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
10		climdivf.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
11		climdivf.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
12		climdivf.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14	12	eldifad 3898	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15		eldifsni 4723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
17	14, 16	reccld 11754	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
18		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
19	18	fvmpt2 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
20	13, 17, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
21	5	fvexi 6780	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
22	21	mptex 7091	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V)
24	1, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23	climrecf 43131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
25		climdivf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	20, 17	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		climdivf.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
28	25, 14, 16	divrecd 11764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
29	20	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘))
30	29	oveq2d 7283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
31	27, 28, 30	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31	climmulf 43126	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
33		climcl 15218	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	7, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35		climcl 15218	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	10, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	34, 36, 11	divrecd 11764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
38	32, 37	breqtrrd 5101	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2943  Vcvv 3429   ∖ cdif 3883  {csn 4561   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  0cc0 10881  1c1 10882   · cmul 10886   / cdiv 11642  ℤcz 12329  ℤ_≥cuz 12592   ⇝ cli 15203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-sup 9188  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  43603  fourierdlem103  43731  fourierdlem104  43732