Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climdivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climdivf 44900
Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climdivf.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climdivf.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climdivf.3 โ„ฒ๐‘˜๐บ
climdivf.4 โ„ฒ๐‘˜๐ป
climdivf.5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climdivf.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climdivf.7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climdivf.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
climdivf.9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
climdivf.10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
climdivf.11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climdivf.12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
climdivf.13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / (๐บโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climdivf (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด / ๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐บ(๐‘˜)   ๐ป(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem climdivf
StepHypRef Expression
1 climdivf.1 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 climdivf.2 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐น
3 nfmpt1 5249 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
4 climdivf.4 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐ป
5 climdivf.5 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
6 climdivf.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
7 climdivf.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
8 climdivf.8 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
9 climdivf.3 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜๐บ
10 climdivf.9 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
11 climdivf.10 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
12 climdivf.12 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
13 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
1412eldifad 3955 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15 eldifsni 4788 . . . . . . 7 ((๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
1714, 16reccld 11987 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
18 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
1918fvmpt2 7003 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
2013, 17, 19syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
215fvexi 6899 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ V
2221mptex 7220 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) โˆˆ V
2322a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) โˆˆ V)
241, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23climrecf 44897 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) โ‡ (1 / ๐ต))
25 climdivf.11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2620, 17eqeltrd 2827 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
27 climdivf.13 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / (๐บโ€˜๐‘˜)))
2825, 14, 16divrecd 11997 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) / (๐บโ€˜๐‘˜)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))))
2920eqcomd 2732 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜))
3029oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜)))
3127, 28, 303eqtrd 2770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜)))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31climmulf 44892 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
33 climcl 15449 . . . 4 (๐น โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
347, 33syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
35 climcl 15449 . . . 4 (๐บ โ‡ ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3610, 35syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3734, 36, 11divrecd 11997 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
3832, 37breqtrrd 5169 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โ„ฒwnfc 2877   โ‰  wne 2934  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826   โ‡ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  45369  fourierdlem103  45497  fourierdlem104  45498
  Copyright terms: Public domain W3C validator