Theorem climdivf 45233

Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climdivf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climdivf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climdivf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climdivf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climdivf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climdivf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climdivf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climdivf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climdivf.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
climdivf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climdivf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdivf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climdivf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfmpt1 5261	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
4		climdivf.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
5		climdivf.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climdivf.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climdivf.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climdivf.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
9		climdivf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
10		climdivf.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
11		climdivf.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
12		climdivf.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14	12	eldifad 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15		eldifsni 4799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
17	14, 16	reccld 12034	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
18		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
19	18	fvmpt2 7020	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
20	13, 17, 19	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
21	5	fvexi 6915	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
22	21	mptex 7240	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V)
24	1, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23	climrecf 45230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
25		climdivf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	20, 17	eqeltrd 2826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		climdivf.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
28	25, 14, 16	divrecd 12044	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
29	20	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘))
30	29	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
31	27, 28, 30	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31	climmulf 45225	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
33		climcl 15501	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	7, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35		climcl 15501	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	10, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	34, 36, 11	divrecd 12044	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
38	32, 37	breqtrrd 5181	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2930  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944  {csn 4633   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   / cdiv 11921  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12874   ⇝ cli 15486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  45702  fourierdlem103  45830  fourierdlem104  45831