![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > climdivf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
climdivf.1 | โข โฒ๐๐ |
climdivf.2 | โข โฒ๐๐น |
climdivf.3 | โข โฒ๐๐บ |
climdivf.4 | โข โฒ๐๐ป |
climdivf.5 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
climdivf.6 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
climdivf.7 | โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) |
climdivf.8 | โข (๐ โ ๐ป โ ๐) |
climdivf.9 | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
climdivf.10 | โข (๐ โ ๐ต โ 0) |
climdivf.11 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
climdivf.12 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ (โ โ {0})) |
climdivf.13 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) / (๐บโ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
climdivf | โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด / ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | climdivf.1 | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | climdivf.2 | . . 3 โข โฒ๐๐น | |
3 | nfmpt1 5214 | . . 3 โข โฒ๐(๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) | |
4 | climdivf.4 | . . 3 โข โฒ๐๐ป | |
5 | climdivf.5 | . . 3 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
6 | climdivf.6 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
7 | climdivf.7 | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) | |
8 | climdivf.8 | . . 3 โข (๐ โ ๐ป โ ๐) | |
9 | climdivf.3 | . . . 4 โข โฒ๐๐บ | |
10 | climdivf.9 | . . . 4 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
11 | climdivf.10 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ 0) | |
12 | climdivf.12 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ (โ โ {0})) | |
13 | simpr 486 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
14 | 12 | eldifad 3923 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
15 | eldifsni 4751 | . . . . . . 7 โข ((๐บโ๐) โ (โ โ {0}) โ (๐บโ๐) โ 0) | |
16 | 12, 15 | syl 17 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ 0) |
17 | 14, 16 | reccld 11925 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (1 / (๐บโ๐)) โ โ) |
18 | eqid 2737 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) | |
19 | 18 | fvmpt2 6960 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ โง (1 / (๐บโ๐)) โ โ) โ ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐) = (1 / (๐บโ๐))) |
20 | 13, 17, 19 | syl2anc 585 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐) = (1 / (๐บโ๐))) |
21 | 5 | fvexi 6857 | . . . . . 6 โข ๐ โ V |
22 | 21 | mptex 7174 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) โ V |
23 | 22 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) โ V) |
24 | 1, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23 | climrecf 43857 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) โ (1 / ๐ต)) |
25 | climdivf.11 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) | |
26 | 20, 17 | eqeltrd 2838 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐) โ โ) |
27 | climdivf.13 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) / (๐บโ๐))) | |
28 | 25, 14, 16 | divrecd 11935 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐นโ๐) / (๐บโ๐)) = ((๐นโ๐) ยท (1 / (๐บโ๐)))) |
29 | 20 | eqcomd 2743 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (1 / (๐บโ๐)) = ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐)) |
30 | 29 | oveq2d 7374 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐นโ๐) ยท (1 / (๐บโ๐))) = ((๐นโ๐) ยท ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐))) |
31 | 27, 28, 30 | 3eqtrd 2781 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐))) |
32 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31 | climmulf 43852 | . 2 โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
33 | climcl 15382 | . . . 4 โข (๐น โ ๐ด โ ๐ด โ โ) | |
34 | 7, 33 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
35 | climcl 15382 | . . . 4 โข (๐บ โ ๐ต โ ๐ต โ โ) | |
36 | 10, 35 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
37 | 34, 36, 11 | divrecd 11935 | . 2 โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
38 | 32, 37 | breqtrrd 5134 | 1 โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด / ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โฒwnf 1786 โ wcel 2107 โฒwnfc 2888 โ wne 2944 Vcvv 3446 โ cdif 3908 {csn 4587 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11050 0cc0 11052 1c1 11053 ยท cmul 11057 / cdiv 11813 โคcz 12500 โคโฅcuz 12764 โ cli 15367 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-sup 9379 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-seq 13908 df-exp 13969 df-cj 14985 df-re 14986 df-im 14987 df-sqrt 15121 df-abs 15122 df-clim 15371 |
This theorem is referenced by: stirlinglem8 44329 fourierdlem103 44457 fourierdlem104 44458 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |