![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > climdivf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
climdivf.1 | โข โฒ๐๐ |
climdivf.2 | โข โฒ๐๐น |
climdivf.3 | โข โฒ๐๐บ |
climdivf.4 | โข โฒ๐๐ป |
climdivf.5 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
climdivf.6 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
climdivf.7 | โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) |
climdivf.8 | โข (๐ โ ๐ป โ ๐) |
climdivf.9 | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
climdivf.10 | โข (๐ โ ๐ต โ 0) |
climdivf.11 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
climdivf.12 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ (โ โ {0})) |
climdivf.13 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) / (๐บโ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
climdivf | โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด / ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | climdivf.1 | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | climdivf.2 | . . 3 โข โฒ๐๐น | |
3 | nfmpt1 5249 | . . 3 โข โฒ๐(๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) | |
4 | climdivf.4 | . . 3 โข โฒ๐๐ป | |
5 | climdivf.5 | . . 3 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
6 | climdivf.6 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
7 | climdivf.7 | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) | |
8 | climdivf.8 | . . 3 โข (๐ โ ๐ป โ ๐) | |
9 | climdivf.3 | . . . 4 โข โฒ๐๐บ | |
10 | climdivf.9 | . . . 4 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
11 | climdivf.10 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ 0) | |
12 | climdivf.12 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ (โ โ {0})) | |
13 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
14 | 12 | eldifad 3955 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
15 | eldifsni 4788 | . . . . . . 7 โข ((๐บโ๐) โ (โ โ {0}) โ (๐บโ๐) โ 0) | |
16 | 12, 15 | syl 17 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ 0) |
17 | 14, 16 | reccld 11987 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (1 / (๐บโ๐)) โ โ) |
18 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) | |
19 | 18 | fvmpt2 7003 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ โง (1 / (๐บโ๐)) โ โ) โ ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐) = (1 / (๐บโ๐))) |
20 | 13, 17, 19 | syl2anc 583 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐) = (1 / (๐บโ๐))) |
21 | 5 | fvexi 6899 | . . . . . 6 โข ๐ โ V |
22 | 21 | mptex 7220 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) โ V |
23 | 22 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) โ V) |
24 | 1, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23 | climrecf 44897 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐))) โ (1 / ๐ต)) |
25 | climdivf.11 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) | |
26 | 20, 17 | eqeltrd 2827 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐) โ โ) |
27 | climdivf.13 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) / (๐บโ๐))) | |
28 | 25, 14, 16 | divrecd 11997 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐นโ๐) / (๐บโ๐)) = ((๐นโ๐) ยท (1 / (๐บโ๐)))) |
29 | 20 | eqcomd 2732 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (1 / (๐บโ๐)) = ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐)) |
30 | 29 | oveq2d 7421 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐นโ๐) ยท (1 / (๐บโ๐))) = ((๐นโ๐) ยท ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐))) |
31 | 27, 28, 30 | 3eqtrd 2770 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท ((๐ โ ๐ โฆ (1 / (๐บโ๐)))โ๐))) |
32 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31 | climmulf 44892 | . 2 โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
33 | climcl 15449 | . . . 4 โข (๐น โ ๐ด โ ๐ด โ โ) | |
34 | 7, 33 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
35 | climcl 15449 | . . . 4 โข (๐บ โ ๐ต โ ๐ต โ โ) | |
36 | 10, 35 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
37 | 34, 36, 11 | divrecd 11997 | . 2 โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
38 | 32, 37 | breqtrrd 5169 | 1 โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด / ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โฒwnfc 2877 โ wne 2934 Vcvv 3468 โ cdif 3940 {csn 4623 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 / cdiv 11875 โคcz 12562 โคโฅcuz 12826 โ cli 15434 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 df-seq 13973 df-exp 14033 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-clim 15438 |
This theorem is referenced by: stirlinglem8 45369 fourierdlem103 45497 fourierdlem104 45498 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |