Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climdivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climdivf 43860
Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climdivf.1 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
climdivf.2 โ„ฒ๐‘˜๐น
climdivf.3 โ„ฒ๐‘˜๐บ
climdivf.4 โ„ฒ๐‘˜๐ป
climdivf.5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climdivf.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climdivf.7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climdivf.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
climdivf.9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
climdivf.10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
climdivf.11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climdivf.12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
climdivf.13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / (๐บโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climdivf (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด / ๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘˜)   ๐บ(๐‘˜)   ๐ป(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem climdivf
StepHypRef Expression
1 climdivf.1 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 climdivf.2 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐น
3 nfmpt1 5214 . . 3 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
4 climdivf.4 . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐ป
5 climdivf.5 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
6 climdivf.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
7 climdivf.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
8 climdivf.8 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
9 climdivf.3 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜๐บ
10 climdivf.9 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
11 climdivf.10 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
12 climdivf.12 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
13 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
1412eldifad 3923 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15 eldifsni 4751 . . . . . . 7 ((๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
1714, 16reccld 11925 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
18 eqid 2737 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
1918fvmpt2 6960 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
2013, 17, 19syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
215fvexi 6857 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ V
2221mptex 7174 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) โˆˆ V
2322a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) โˆˆ V)
241, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23climrecf 43857 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) โ‡ (1 / ๐ต))
25 climdivf.11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2620, 17eqeltrd 2838 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
27 climdivf.13 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / (๐บโ€˜๐‘˜)))
2825, 14, 16divrecd 11935 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) / (๐บโ€˜๐‘˜)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))))
2920eqcomd 2743 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜))
3029oveq2d 7374 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (1 / (๐บโ€˜๐‘˜))) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜)))
3127, 28, 303eqtrd 2781 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))โ€˜๐‘˜)))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31climmulf 43852 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
33 climcl 15382 . . . 4 (๐น โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
347, 33syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
35 climcl 15382 . . . 4 (๐บ โ‡ ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3610, 35syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3734, 36, 11divrecd 11935 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
3832, 37breqtrrd 5134 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107  โ„ฒwnfc 2888   โ‰  wne 2944  Vcvv 3446   โˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   / cdiv 11813  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764   โ‡ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  44329  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458
  Copyright terms: Public domain W3C validator