Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climdivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climdivf 41899
 Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climdivf.1 𝑘𝜑
climdivf.2 𝑘𝐹
climdivf.3 𝑘𝐺
climdivf.4 𝑘𝐻
climdivf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climdivf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climdivf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climdivf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climdivf.10 (𝜑𝐵 ≠ 0)
climdivf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climdivf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf
StepHypRef Expression
1 climdivf.1 . . 3 𝑘𝜑
2 climdivf.2 . . 3 𝑘𝐹
3 nfmpt1 5167 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))
4 climdivf.4 . . 3 𝑘𝐻
5 climdivf.5 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climdivf.6 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climdivf.7 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
8 climdivf.8 . . 3 (𝜑𝐻𝑋)
9 climdivf.3 . . . 4 𝑘𝐺
10 climdivf.9 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
11 climdivf.10 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
12 climdivf.12 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1412eldifad 3951 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
15 eldifsni 4725 . . . . . . 7 ((𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
1714, 16reccld 11412 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
18 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))
1918fvmpt2 6782 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
2013, 17, 19syl2anc 586 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
215fvexi 6687 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
2221mptex 6989 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ∈ V)
241, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23climrecf 41896 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
25 climdivf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2620, 17eqeltrd 2916 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 climdivf.13 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
2825, 14, 16divrecd 11422 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
2920eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) = ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘))
3029oveq2d 7175 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))) = ((𝐹𝑘) · ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘)))
3127, 28, 303eqtrd 2863 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑘𝑍 ↦ (1 / (𝐺𝑘)))‘𝑘)))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31climmulf 41891 . 2 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
33 climcl 14859 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
347, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
35 climcl 14859 . . . 4 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
3610, 35syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3734, 36, 11divrecd 11422 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
3832, 37breqtrrd 5097 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2964   ≠ wne 3019  Vcvv 3497   ∖ cdif 3936  {csn 4570   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   · cmul 10545   / cdiv 11300  ℤcz 11984  ℤ≥cuz 12246   ⇝ cli 14844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  42373  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502
 Copyright terms: Public domain W3C validator