Theorem climdivf 45035

Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climdivf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climdivf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climdivf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climdivf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climdivf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climdivf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climdivf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climdivf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climdivf.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
climdivf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climdivf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdivf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climdivf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfmpt1 5249	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
4		climdivf.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
5		climdivf.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climdivf.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climdivf.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climdivf.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
9		climdivf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
10		climdivf.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
11		climdivf.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
12		climdivf.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14	12	eldifad 3951	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15		eldifsni 4787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
17	14, 16	reccld 12011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
18		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
19	18	fvmpt2 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
20	13, 17, 19	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
21	5	fvexi 6904	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
22	21	mptex 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V)
24	1, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23	climrecf 45032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
25		climdivf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	20, 17	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		climdivf.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
28	25, 14, 16	divrecd 12021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
29	20	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘))
30	29	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
31	27, 28, 30	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31	climmulf 45027	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
33		climcl 15473	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	7, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35		climcl 15473	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	10, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	34, 36, 11	divrecd 12021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
38	32, 37	breqtrrd 5169	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875   ≠ wne 2930  Vcvv 3463   ∖ cdif 3936  {csn 4622   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ℂcc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   · cmul 11141   / cdiv 11899  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850   ⇝ cli 15458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  45504  fourierdlem103  45632  fourierdlem104  45633