Theorem climdivf 44314

Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climdivf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climdivf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climdivf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climdivf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climdivf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climdivf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climdivf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climdivf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climdivf.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
climdivf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climdivf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdivf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climdivf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfmpt1 5255	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
4		climdivf.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
5		climdivf.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climdivf.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climdivf.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climdivf.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
9		climdivf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
10		climdivf.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
11		climdivf.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
12		climdivf.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14	12	eldifad 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15		eldifsni 4792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
17	14, 16	reccld 11979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
18		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
19	18	fvmpt2 7006	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
20	13, 17, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
21	5	fvexi 6902	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
22	21	mptex 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V)
24	1, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 23	climrecf 44311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
25		climdivf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	20, 17	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		climdivf.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
28	25, 14, 16	divrecd 11989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
29	20	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘))
30	29	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
31	27, 28, 30	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 24, 25, 26, 31	climmulf 44306	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
33		climcl 15439	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	7, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
35		climcl 15439	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	10, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	34, 36, 11	divrecd 11989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
38	32, 37	breqtrrd 5175	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   / cdiv 11867  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818   ⇝ cli 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  44783  fourierdlem103  44911  fourierdlem104  44912