MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgtail Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgtail 15936
Description: A tail of a non-trivially convergent sequence converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgtail.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgtail.2 (𝜑𝑁𝑍)
ntrivcvgtail.3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgtail.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgtail.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgtail (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ntrivcvgtail
StepHypRef Expression
1 fclim 15589 . . . . . . . 8 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
2 ffun 6739 . . . . . . . 8 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ⇝
4 ntrivcvgtail.3 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5 funbrfv 6957 . . . . . . 7 (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
63, 4, 5mpsyl 68 . . . . . 6 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
7 ntrivcvgtail.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≠ 0)
86, 7eqnetrd 3008 . . . . 5 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0)
94, 6breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
108, 9jca 511 . . . 4 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
12 seqeq1 14045 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
1312fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
1413neeq1d 3000 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0))
1512, 13breq12d 5156 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
1614, 15anbi12d 632 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
1811, 17mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
19 ntrivcvgtail.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2120, 19eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
22 ntrivcvgtail.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2322adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
244adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
257adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑋 ≠ 0)
2619, 21, 24, 25, 23ntrivcvgfvn0 15935 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
2719, 21, 23, 24, 26clim2div 15925 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
28 funbrfv 6957 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))))
293, 27, 28mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
30 climcl 15535 . . . . . . 7 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋𝑋 ∈ ℂ)
314, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
33 ntrivcvgtail.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑍)
34 eluzel2 12883 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3534, 19eleq2s 2859 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3719, 36, 22prodf 15923 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
3819feq2i 6728 . . . . . . 7 (seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ ↔ seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3937, 38sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
4039ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
4132, 40, 25, 26divne0d 12059 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
4229, 41eqnetrd 3008 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0)
4327, 29breqtrrd 5171 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)))
44 uzssz 12899 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4519, 44eqsstri 4030 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ⊆ ℤ
4645, 33sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4746zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
49 1cnd 11256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
5048, 49npcand 11624 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5150seqeq1d 14048 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑁( · , 𝐹))
5251fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))
5352neeq1d 3000 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0))
5451, 52breq12d 5156 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
5553, 54anbi12d 632 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))))
5642, 43, 55mpbi2and 712 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
5733, 19eleqtrdi 2851 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
58 uzm1 12916 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
6018, 56, 59mpjaodan 961 1 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cz 12613  cuz 12878  seqcseq 14042  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmullem  15937
  Copyright terms: Public domain W3C validator