Theorem ntrivcvgtail 15936

Description: A tail of a non-trivially convergent sequence converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgtail.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgtail.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgtail.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgtail.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgtail.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgtail	⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ntrivcvgtail

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fclim 15589	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
2		ffun 6739	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun ⇝
4		ntrivcvgtail.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5		funbrfv 6957	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
6	3, 4, 5	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
7		ntrivcvgtail.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
8	6, 7	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0)
9	4, 6	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
10	8, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
12		seqeq1 14045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
13	12	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
14	13	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0))
15	12, 13	breq12d 5156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
16	14, 15	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
18	11, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
19		ntrivcvgtail.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20, 19	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
22		ntrivcvgtail.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	22	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
25	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑋 ≠ 0)
26	19, 21, 24, 25, 23	ntrivcvgfvn0 15935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
27	19, 21, 23, 24, 26	clim2div 15925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
28		funbrfv 6957	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝ → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))))
29	3, 27, 28	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
30		climcl 15535	. . . . . . 7 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → 𝑋 ∈ ℂ)
31	4, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
33		ntrivcvgtail.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
34		eluzel2 12883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	34, 19	eleq2s 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	19, 36, 22	prodf 15923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
38	19	feq2i 6728	. . . . . . 7 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ ↔ seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
39	37, 38	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
41	32, 40, 25, 26	divne0d 12059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
42	29, 41	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0)
43	27, 29	breqtrrd 5171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)))
44		uzssz 12899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
45	19, 44	eqsstri 4030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
46	45, 33	sselid 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
49		1cnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
50	48, 49	npcand 11624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
51	50	seqeq1d 14048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑁( · , 𝐹))
52	51	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))
53	52	neeq1d 3000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0))
54	51, 52	breq12d 5156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
55	53, 54	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))))
56	42, 43, 55	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
57	33, 19	eleqtrdi 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58		uzm1 12916	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
59	57, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
60	18, 56, 59	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  seqcseq 14042   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524

This theorem is referenced by:  ntrivcvgmullem  15937