Theorem ntrivcvgtail 15859

Description: A tail of a non-trivially convergent sequence converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgtail.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgtail.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgtail.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgtail.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgtail.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgtail	⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ntrivcvgtail

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fclim 15509	. . . . . . . 8 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
2		ffun 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun ⇝
4		ntrivcvgtail.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5		funbrfv 6883	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
6	3, 4, 5	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
7		ntrivcvgtail.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
8	6, 7	eqnetrd 3000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0)
9	4, 6	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
10	8, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
12		seqeq1 13960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
13	12	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
14	13	neeq1d 2992	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0))
15	12, 13	breq12d 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
16	14, 15	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
18	11, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
19		ntrivcvgtail.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20, 19	eleqtrrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
22		ntrivcvgtail.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	22	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
25	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑋 ≠ 0)
26	19, 21, 24, 25, 23	ntrivcvgfvn0 15858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
27	19, 21, 23, 24, 26	clim2div 15848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
28		funbrfv 6883	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝ → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))))
29	3, 27, 28	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
30		climcl 15455	. . . . . . 7 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → 𝑋 ∈ ℂ)
31	4, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
33		ntrivcvgtail.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
34		eluzel2 12787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	34, 19	eleq2s 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	19, 36, 22	prodf 15846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
38	19	feq2i 6655	. . . . . . 7 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ ↔ seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
39	37, 38	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
41	32, 40, 25, 26	divne0d 11941	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
42	29, 41	eqnetrd 3000	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0)
43	27, 29	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)))
44		uzssz 12803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
45	19, 44	eqsstri 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
46	45, 33	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
49		1cnd 11133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
50	48, 49	npcand 11503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
51	50	seqeq1d 13963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑁( · , 𝐹))
52	51	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))
53	52	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0))
54	51, 52	breq12d 5099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
55	53, 54	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))))
56	42, 43, 55	mpbi2and 713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
57	33, 19	eleqtrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58		uzm1 12816	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
59	57, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
60	18, 56, 59	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  seqcseq 13957   ⇝ cli 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444

This theorem is referenced by:  ntrivcvgmullem  15860