MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgtail Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgtail 15850
Description: A tail of a non-trivially convergent sequence converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgtail.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ntrivcvgtail.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
ntrivcvgtail.3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgtail.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0)
ntrivcvgtail.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgtail (πœ‘ β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem ntrivcvgtail
StepHypRef Expression
1 fclim 15501 . . . . . . . 8 ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚
2 ffun 6719 . . . . . . . 8 ( ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚ β†’ Fun ⇝ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ⇝
4 ntrivcvgtail.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5 funbrfv 6941 . . . . . . 7 (Fun ⇝ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑋 β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) = 𝑋))
63, 4, 5mpsyl 68 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) = 𝑋)
7 ntrivcvgtail.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0)
86, 7eqnetrd 3006 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) β‰  0)
94, 6breqtrrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)))
108, 9jca 510 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹))))
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 𝑀) β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹))))
12 seqeq1 13973 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ seq𝑁( Β· , 𝐹) = seq𝑀( Β· , 𝐹))
1312fveq2d 6894 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)))
1413neeq1d 2998 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ↔ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) β‰  0))
1512, 13breq12d 5160 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) ↔ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹))))
1614, 15anbi12d 629 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 β†’ ((( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹))) ↔ (( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)))))
1716adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 𝑀) β†’ ((( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹))) ↔ (( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)))))
1811, 17mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 𝑀) β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹))))
19 ntrivcvgtail.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
20 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2120, 19eleqtrrdi 2842 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ 𝑍)
22 ntrivcvgtail.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2322adantlr 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
244adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑋)
257adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝑋 β‰  0)
2619, 21, 24, 25, 23ntrivcvgfvn0 15849 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0)
2719, 21, 23, 24, 26clim2div 15839 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
28 funbrfv 6941 . . . . 5 (Fun ⇝ β†’ (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
293, 27, 28mpsyl 68 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
30 climcl 15447 . . . . . . 7 (seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
314, 30syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
3231adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
33 ntrivcvgtail.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
34 eluzel2 12831 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3534, 19eleq2s 2849 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3719, 36, 22prodf 15837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
3819feq2i 6708 . . . . . . 7 (seq𝑀( Β· , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚ ↔ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
3937, 38sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
4039ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4132, 40, 25, 26divne0d 12010 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (𝑋 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) β‰  0)
4229, 41eqnetrd 3006 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)) β‰  0)
4327, 29breqtrrd 5175 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)))
44 uzssz 12847 . . . . . . . . . . . 12 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
4519, 44eqsstri 4015 . . . . . . . . . . 11 𝑍 βŠ† β„€
4645, 33sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4746zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4847adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
49 1cnd 11213 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5048, 49npcand 11579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
5150seqeq1d 13976 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) = seq𝑁( Β· , 𝐹))
5251fveq2d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)) = ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)))
5352neeq1d 2998 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)) β‰  0 ↔ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0))
5451, 52breq12d 5160 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)) ↔ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹))))
5553, 54anbi12d 629 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹))) ↔ (( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)))))
5642, 43, 55mpbi2and 708 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹))))
5733, 19eleqtrdi 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
58 uzm1 12864 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
5957, 58syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
6018, 56, 59mpjaodan 955 1 (πœ‘ β†’ (( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹)) β‰  0 ∧ seq𝑁( Β· , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑁( Β· , 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  seqcseq 13970   ⇝ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmullem  15851
  Copyright terms: Public domain W3C validator