MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgtail Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgtail 15932
Description: A tail of a non-trivially convergent sequence converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgtail.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgtail.2 (𝜑𝑁𝑍)
ntrivcvgtail.3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgtail.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgtail.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgtail (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ntrivcvgtail
StepHypRef Expression
1 fclim 15585 . . . . . . . 8 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
2 ffun 6739 . . . . . . . 8 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ⇝
4 ntrivcvgtail.3 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5 funbrfv 6957 . . . . . . 7 (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
63, 4, 5mpsyl 68 . . . . . 6 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
7 ntrivcvgtail.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≠ 0)
86, 7eqnetrd 3005 . . . . 5 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0)
94, 6breqtrrd 5175 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
108, 9jca 511 . . . 4 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
12 seqeq1 14041 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
1312fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
1413neeq1d 2997 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0))
1512, 13breq12d 5160 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
1614, 15anbi12d 632 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
1811, 17mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
19 ntrivcvgtail.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2120, 19eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
22 ntrivcvgtail.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2322adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
244adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
257adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑋 ≠ 0)
2619, 21, 24, 25, 23ntrivcvgfvn0 15931 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
2719, 21, 23, 24, 26clim2div 15921 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
28 funbrfv 6957 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))))
293, 27, 28mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
30 climcl 15531 . . . . . . 7 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋𝑋 ∈ ℂ)
314, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
33 ntrivcvgtail.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑍)
34 eluzel2 12880 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3534, 19eleq2s 2856 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3719, 36, 22prodf 15919 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
3819feq2i 6728 . . . . . . 7 (seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ ↔ seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3937, 38sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
4039ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
4132, 40, 25, 26divne0d 12056 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
4229, 41eqnetrd 3005 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0)
4327, 29breqtrrd 5175 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)))
44 uzssz 12896 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4519, 44eqsstri 4029 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ⊆ ℤ
4645, 33sselid 3992 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4746zcnd 12720 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
49 1cnd 11253 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
5048, 49npcand 11621 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5150seqeq1d 14044 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑁( · , 𝐹))
5251fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))
5352neeq1d 2997 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0))
5451, 52breq12d 5160 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
5553, 54anbi12d 632 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))))
5642, 43, 55mpbi2and 712 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
5733, 19eleqtrdi 2848 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
58 uzm1 12913 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
6018, 56, 59mpjaodan 960 1 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cz 12610  cuz 12875  seqcseq 14038  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmullem  15933
  Copyright terms: Public domain W3C validator