MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgtail Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgtail 15842
Description: A tail of a non-trivially convergent sequence converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgtail.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgtail.2 (𝜑𝑁𝑍)
ntrivcvgtail.3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgtail.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgtail.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgtail (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ntrivcvgtail
StepHypRef Expression
1 fclim 15493 . . . . . . . 8 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
2 ffun 6717 . . . . . . . 8 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ⇝
4 ntrivcvgtail.3 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5 funbrfv 6939 . . . . . . 7 (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
63, 4, 5mpsyl 68 . . . . . 6 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
7 ntrivcvgtail.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≠ 0)
86, 7eqnetrd 3009 . . . . 5 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0)
94, 6breqtrrd 5175 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
108, 9jca 513 . . . 4 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
1110adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
12 seqeq1 13965 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
1312fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
1413neeq1d 3001 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0))
1512, 13breq12d 5160 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹))))
1614, 15anbi12d 632 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
1716adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → ((( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))))
1811, 17mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
19 ntrivcvgtail.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2120, 19eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
22 ntrivcvgtail.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2322adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
244adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
257adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑋 ≠ 0)
2619, 21, 24, 25, 23ntrivcvgfvn0 15841 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
2719, 21, 23, 24, 26clim2div 15831 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
28 funbrfv 6939 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))))
293, 27, 28mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
30 climcl 15439 . . . . . . 7 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋𝑋 ∈ ℂ)
314, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3231adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
33 ntrivcvgtail.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑍)
34 eluzel2 12823 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3534, 19eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3719, 36, 22prodf 15829 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
3819feq2i 6706 . . . . . . 7 (seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ ↔ seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3937, 38sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
4039ffvelcdmda 7082 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
4132, 40, 25, 26divne0d 12002 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑋 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
4229, 41eqnetrd 3009 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0)
4327, 29breqtrrd 5175 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)))
44 uzssz 12839 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4519, 44eqsstri 4015 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ⊆ ℤ
4645, 33sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4746zcnd 12663 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
49 1cnd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
5048, 49npcand 11571 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5150seqeq1d 13968 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑁( · , 𝐹))
5251fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) = ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))
5352neeq1d 3001 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0))
5451, 52breq12d 5160 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
5553, 54anbi12d 632 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq((𝑁 − 1) + 1)( · , 𝐹))) ↔ (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)))))
5642, 43, 55mpbi2and 711 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
5733, 19eleqtrdi 2844 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
58 uzm1 12856 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
6018, 56, 59mpjaodan 958 1 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( · , 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Fun wfun 6534  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440   / cdiv 11867  cz 12554  cuz 12818  seqcseq 13962  cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmullem  15843
  Copyright terms: Public domain W3C validator