MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem6 25260
Description: Lemma for emcl 25262. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is γ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem6 (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12130 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11862 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq2 7024 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
43oveq2d 7032 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑘)))
54fveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
63, 5oveq12d 7034 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7 emcl.4 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
8 ovex 7048 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6635 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
109adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
11 nnrecre 11527 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1211adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
13 1rp 12243 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
14 nnrp 12250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1514rpreccld 12291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
17 rpaddcl 12261 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
1918relogcld 24887 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ)
2012, 19resubcld 10916 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℝ)
2120recnd 10515 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℂ)
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
2522, 23, 24, 7emcllem5 25259 . . . . . . . . 9 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
2622, 23emcllem1 25255 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
2726simpri 486 . . . . . . . . . . 11 𝐺:ℕ⟶ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
2922, 23emcllem2 25256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
3029simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
32 1nn 11497 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
3326simpli 484 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:ℕ⟶ℝ
3433ffvelrni 6715 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘1) ∈ ℝ
3627ffvelrni 6715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
3833ffvelrni 6715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
41 fvex 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ V
425, 24, 41fvmpt 6635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
4422, 23, 24emcllem3 25257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
4643, 45eqtr3d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
47 1re 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
48 readdcl 10466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
4947, 12, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
50 ltaddrp 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
5147, 16, 50sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
5249, 51rplogcld 24893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
5346, 52eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 12285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
5539, 37subge0d 11078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
5654, 55mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
57 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
5857breq1d 4972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)))
59 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
6059breq1d 4972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
61 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6261breq1d 4972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
6335leidi 11022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)
6429simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
65 peano2nn 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6633ffvelrni 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
69 letr 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
7067, 38, 68, 69syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
7164, 70mpand 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 11504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘1))
7437, 39, 40, 56, 73letrd 10644 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1))
7574ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1))
76 brralrspcev 5022 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ 𝑥)
7735, 75, 76sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) ≤ 𝑥)
781, 2, 28, 31, 77climsup 14860 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
7925, 78eqbrtrrid 4998 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80 climrel 14683 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
8180releldmi 5700 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
8279, 81syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
831, 2, 10, 21, 82isumclim2 14946 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
84 df-em 25252 . . . . . 6 γ = Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
8583, 25, 843brtr4g 4996 . . . . 5 (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
86 nnex 11492 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
8786mptex 6852 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) ∈ V
8822, 87eqeltri 2879 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐹 ∈ V)
9022, 23, 24emcllem4 25258 . . . . . 6 𝐻 ⇝ 0
9190a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
9237recnd 10515 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
9339, 37resubcld 10916 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
9445, 93eqeltrd 2883 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
9594recnd 10515 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
9645oveq2d 7032 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + (𝐻𝑘)) = ((𝐺𝑘) + ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))))
9739recnd 10515 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9892, 97pncan3d 10848 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) = (𝐹𝑘))
9996, 98eqtr2d 2832 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐺𝑘) + (𝐻𝑘)))
1001, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99climadd 14822 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (γ + 0))
10185mptru 1529 . . . . . 6 𝐺 ⇝ γ
102 climcl 14690 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ γ → γ ∈ ℂ)
103101, 102ax-mp 5 . . . . 5 γ ∈ ℂ
104103addid1i 10674 . . . 4 (γ + 0) = γ
105100, 104syl6breq 5003 . . 3 (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
106105mptru 1529 . 2 𝐹 ⇝ γ
107106, 101pm3.2i 471 1 (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wtru 1523  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437   class class class wbr 4962  cmpt 5041  dom cdm 5443  ran crn 5444  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  supcsup 8750  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  +crp 12239  ...cfz 12742  seqcseq 13219  cli 14675  Σcsu 14876  logclog 24819  γcem 25251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-em 25252
This theorem is referenced by:  emcllem7  25261
  Copyright terms: Public domain W3C validator