Theorem emcllem6 27165

Description: Lemma for emcl 27167. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is γ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem6	⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12896	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12620	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
4	3	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑘)))
5	4	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
6	3, 5	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7		emcl.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
8		ovex 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
10	9	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
11		nnrecre 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
13		1rp 13015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
14		nnrp 13023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 13065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
16	15	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
17		rpaddcl 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 26788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ)
20	12, 19	resubcld 11637	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℂ)
22		emcl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
23		emcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
24		emcl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
25	22, 23, 24, 7	emcllem5 27164	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
26	22, 23	emcllem1 27160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
27	26	simpri 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
29	22, 23	emcllem2 27161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
30	29	simprd 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31	30	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
32		1nn 12239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	26	simpli 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ
34	33	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ ℝ
36	27	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
38	33	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
40	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
41		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ V
42	5, 24, 41	fvmpt 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
43	42	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
44	22, 23, 24	emcllem3 27162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
45	44	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
46	43, 45	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
47		1re 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		readdcl 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
49	47, 12, 48	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
50		ltaddrp 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
51	47, 16, 50	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
52	49, 51	rplogcld 26794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
53	46, 52	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 13059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
55	39, 37	subge0d 11799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
56	54, 55	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
57		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
58	57	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)))
59		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
60	59	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
61		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
62	61	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
63	35	leidi 11743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)
64	29	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
65		peano2nn 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
66	33	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
68	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
69		letr 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
70	67, 38, 68, 69	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
71	64, 70	mpand 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
72	58, 60, 62, 60, 63, 71	nnind 12246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
73	72	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
74	37, 39, 40, 56, 73	letrd 11362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
75	74	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
76		brralrspcev 5171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
77	35, 75, 76	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
78	1, 2, 28, 31, 77	climsup 15717	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
79	25, 78	eqbrtrrid 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80		climrel 15539	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ⇝
81	80	releldmi 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
82	79, 81	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
83	1, 2, 10, 21, 82	isumclim2 15805	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
84		df-em 27157	. . . . . 6 ⊢ γ = Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
85	83, 25, 84	3brtr4g 5145	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
86		nnex 12234	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
87	86	mptex 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) ∈ V
88	22, 87	eqeltri 2859	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ V)
90	22, 23, 24	emcllem4 27163	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⇝ 0
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
92	37	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
93	39, 37	resubcld 11637	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
94	45, 93	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
96	45	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))))
97	39	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
98	92, 97	pncan3d 11567	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
99	96, 98	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
100	1, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99	climadd 15679	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (γ + 0))
101	85	mptru 1577	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ⇝ γ
102		climcl 15546	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⇝ γ → γ ∈ ℂ)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ γ ∈ ℂ
104	103	addridi 11392	. . . 4 ⊢ (γ + 0) = γ
105	100, 104	breqtrdi 5152	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
106	105	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝐹 ⇝ γ
107	106, 101	pm3.2i 475	1 ⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  supcsup 9396  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  ℝ⁺crp 13011  ...cfz 13530  seqcseq 14033   ⇝ cli 15531  Σcsu 15733  logclog 26719  γcem 27156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-em 27157

This theorem is referenced by:  emcllem7  27166