MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem6 26505
Description: Lemma for emcl 26507. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is Ξ³ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem6 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻   π‘š,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š,𝑛)   𝐺(π‘š,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12865 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12593 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
43oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / π‘˜)))
54fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
63, 5oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
7 emcl.4 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
8 ovex 7442 . . . . . . . . 9 ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
109adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
11 nnrecre 12254 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
1211adantl 483 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
13 1rp 12978 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
14 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1514rpreccld 13026 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
1615adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
17 rpaddcl 12996 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1918relogcld 26131 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ)
2012, 19resubcld 11642 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ ℝ)
2120recnd 11242 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ β„‚)
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
2522, 23, 24, 7emcllem5 26504 . . . . . . . . 9 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
2622, 23emcllem1 26500 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2726simpri 487 . . . . . . . . . . 11 𝐺:β„•βŸΆβ„
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2922, 23emcllem2 26501 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
3029simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
32 1nn 12223 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
3326simpli 485 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:β„•βŸΆβ„
3433ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜1) ∈ ℝ
3627ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3833ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
41 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ V
425, 24, 41fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4422, 23, 24emcllem3 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4643, 45eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
47 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
48 readdcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
4947, 12, 48sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
50 ltaddrp 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5147, 16, 50sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5249, 51rplogcld 26137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ+)
5346, 52eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
5539, 37subge0d 11804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
57 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜1))
5857breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)))
59 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
6059breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)))
61 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
6261breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
6335leidi 11748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)
6429simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
65 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
6633ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
69 letr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7067, 38, 68, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7164, 70mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7372adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7437, 39, 40, 56, 73letrd 11371 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7574ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
76 brralrspcev 5209 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
7735, 75, 76sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
781, 2, 28, 31, 77climsup 15616 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
7925, 78eqbrtrrid 5185 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80 climrel 15436 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
8180releldmi 5948 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
8279, 81syl 17 . . . . . . 7 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
831, 2, 10, 21, 82isumclim2 15704 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
84 df-em 26497 . . . . . 6 Ξ³ = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
8583, 25, 843brtr4g 5183 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
86 nnex 12218 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
8786mptex 7225 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›))) ∈ V
8822, 87eqeltri 2830 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐹 ∈ V)
9022, 23, 24emcllem4 26503 . . . . . 6 𝐻 ⇝ 0
9190a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐻 ⇝ 0)
9237recnd 11242 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9339, 37resubcld 11642 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
9445, 93eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9594recnd 11242 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9645oveq2d 7425 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))))
9739recnd 11242 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9892, 97pncan3d 11574 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))) = (πΉβ€˜π‘˜))
9996, 98eqtr2d 2774 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)))
1001, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99climadd 15576 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ (Ξ³ + 0))
10185mptru 1549 . . . . . 6 𝐺 ⇝ Ξ³
102 climcl 15443 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ Ξ³ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
103101, 102ax-mp 5 . . . . 5 Ξ³ ∈ β„‚
104103addridi 11401 . . . 4 (Ξ³ + 0) = Ξ³
105100, 104breqtrdi 5190 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ³)
106105mptru 1549 . 2 𝐹 ⇝ Ξ³
107106, 101pm3.2i 472 1 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„+crp 12974  ...cfz 13484  seqcseq 13966   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632  logclog 26063  Ξ³cem 26496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-em 26497
This theorem is referenced by:  emcllem7  26506
  Copyright terms: Public domain W3C validator