MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem6 26366
Description: Lemma for emcl 26368. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is Ξ³ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem6 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻   π‘š,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š,𝑛)   𝐺(π‘š,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12813 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12541 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
43oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / π‘˜)))
54fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
63, 5oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
7 emcl.4 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
8 ovex 7395 . . . . . . . . 9 ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6953 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
109adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
11 nnrecre 12202 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
1211adantl 483 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
13 1rp 12926 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
14 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1514rpreccld 12974 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
1615adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
17 rpaddcl 12944 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1918relogcld 25994 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ)
2012, 19resubcld 11590 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ ℝ)
2120recnd 11190 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ β„‚)
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
2522, 23, 24, 7emcllem5 26365 . . . . . . . . 9 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
2622, 23emcllem1 26361 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2726simpri 487 . . . . . . . . . . 11 𝐺:β„•βŸΆβ„
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2922, 23emcllem2 26362 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
3029simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
32 1nn 12171 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
3326simpli 485 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:β„•βŸΆβ„
3433ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜1) ∈ ℝ
3627ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3833ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
41 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ V
425, 24, 41fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4422, 23, 24emcllem3 26363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4643, 45eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
47 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
48 readdcl 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
4947, 12, 48sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
50 ltaddrp 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5147, 16, 50sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5249, 51rplogcld 26000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ+)
5346, 52eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
5539, 37subge0d 11752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
57 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜1))
5857breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)))
59 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
6059breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)))
61 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
6261breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
6335leidi 11696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)
6429simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
65 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
6633ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
69 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7067, 38, 68, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7164, 70mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 12178 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7372adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7437, 39, 40, 56, 73letrd 11319 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7574ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
76 brralrspcev 5170 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
7735, 75, 76sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
781, 2, 28, 31, 77climsup 15561 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
7925, 78eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80 climrel 15381 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
8180releldmi 5908 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
8279, 81syl 17 . . . . . . 7 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
831, 2, 10, 21, 82isumclim2 15650 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
84 df-em 26358 . . . . . 6 Ξ³ = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
8583, 25, 843brtr4g 5144 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
86 nnex 12166 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
8786mptex 7178 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›))) ∈ V
8822, 87eqeltri 2834 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐹 ∈ V)
9022, 23, 24emcllem4 26364 . . . . . 6 𝐻 ⇝ 0
9190a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐻 ⇝ 0)
9237recnd 11190 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9339, 37resubcld 11590 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
9445, 93eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9594recnd 11190 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9645oveq2d 7378 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))))
9739recnd 11190 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9892, 97pncan3d 11522 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))) = (πΉβ€˜π‘˜))
9996, 98eqtr2d 2778 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)))
1001, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99climadd 15521 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ (Ξ³ + 0))
10185mptru 1549 . . . . . 6 𝐺 ⇝ Ξ³
102 climcl 15388 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ Ξ³ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
103101, 102ax-mp 5 . . . . 5 Ξ³ ∈ β„‚
104103addid1i 11349 . . . 4 (Ξ³ + 0) = Ξ³
105100, 104breqtrdi 5151 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ³)
106105mptru 1549 . 2 𝐹 ⇝ Ξ³
107106, 101pm3.2i 472 1 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„+crp 12922  ...cfz 13431  seqcseq 13913   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  logclog 25926  Ξ³cem 26357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-em 26358
This theorem is referenced by:  emcllem7  26367
  Copyright terms: Public domain W3C validator