Theorem emcllem6 26738

Description: Lemma for emcl 26740. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is γ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem6	⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12870	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12598	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
4	3	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑘)))
5	4	fveq2d 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
6	3, 5	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7		emcl.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
8		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
11		nnrecre 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
13		1rp 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
14		nnrp 12990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 13031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
17		rpaddcl 13001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 26364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ)
20	12, 19	resubcld 11647	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℂ)
22		emcl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
23		emcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
24		emcl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
25	22, 23, 24, 7	emcllem5 26737	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
26	22, 23	emcllem1 26733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
27	26	simpri 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
29	22, 23	emcllem2 26734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
30	29	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
32		1nn 12228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	26	simpli 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ
34	33	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ ℝ
36	27	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
38	33	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
40	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
41		fvex 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ V
42	5, 24, 41	fvmpt 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
44	22, 23, 24	emcllem3 26735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
46	43, 45	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
47		1re 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		readdcl 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
49	47, 12, 48	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
50		ltaddrp 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
51	47, 16, 50	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
52	49, 51	rplogcld 26370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
53	46, 52	eqeltrrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
55	39, 37	subge0d 11809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
56	54, 55	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
57		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
58	57	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)))
59		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
60	59	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
61		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
62	61	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
63	35	leidi 11753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)
64	29	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
65		peano2nn 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
66	33	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
68	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
69		letr 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
70	67, 38, 68, 69	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
71	64, 70	mpand 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
72	58, 60, 62, 60, 63, 71	nnind 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
74	37, 39, 40, 56, 73	letrd 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
75	74	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
76		brralrspcev 5209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
77	35, 75, 76	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
78	1, 2, 28, 31, 77	climsup 15621	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
79	25, 78	eqbrtrrid 5185	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80		climrel 15441	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ⇝
81	80	releldmi 5948	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
82	79, 81	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
83	1, 2, 10, 21, 82	isumclim2 15709	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
84		df-em 26730	. . . . . 6 ⊢ γ = Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
85	83, 25, 84	3brtr4g 5183	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
86		nnex 12223	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
87	86	mptex 7228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) ∈ V
88	22, 87	eqeltri 2828	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ V)
90	22, 23, 24	emcllem4 26736	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⇝ 0
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
92	37	recnd 11247	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
93	39, 37	resubcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
94	45, 93	eqeltrd 2832	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11247	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
96	45	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))))
97	39	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
98	92, 97	pncan3d 11579	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
99	96, 98	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
100	1, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99	climadd 15581	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (γ + 0))
101	85	mptru 1547	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ⇝ γ
102		climcl 15448	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⇝ γ → γ ∈ ℂ)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ γ ∈ ℂ
104	103	addridi 11406	. . . 4 ⊢ (γ + 0) = γ
105	100, 104	breqtrdi 5190	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
106	105	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝐹 ⇝ γ
107	106, 101	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  ℂcc 11111  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449   / cdiv 11876  ℕcn 12217  ℝ⁺crp 12979  ...cfz 13489  seqcseq 13971   ⇝ cli 15433  Σcsu 15637  logclog 26296  γcem 26729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-em 26730

This theorem is referenced by:  emcllem7  26739