Theorem emcllem6 26981

Description: Lemma for emcl 26983. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is γ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem6	⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12821	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12552	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq2 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
4	3	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑘)))
5	4	fveq2d 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
6	3, 5	oveq12d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7		emcl.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
8		ovex 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
11		nnrecre 12213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
13		1rp 12940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
14		nnrp 12948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 12990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
17		rpaddcl 12960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 26603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ)
20	12, 19	resubcld 11572	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11167	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℂ)
22		emcl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
23		emcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
24		emcl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
25	22, 23, 24, 7	emcllem5 26980	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
26	22, 23	emcllem1 26976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
27	26	simpri 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
29	22, 23	emcllem2 26977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
30	29	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
32		1nn 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	26	simpli 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ
34	33	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ ℝ
36	27	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
38	33	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
40	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
41		fvex 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ V
42	5, 24, 41	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
44	22, 23, 24	emcllem3 26978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
46	43, 45	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
47		1re 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		readdcl 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
49	47, 12, 48	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
50		ltaddrp 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
51	47, 16, 50	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
52	49, 51	rplogcld 26609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
53	46, 52	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 12984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
55	39, 37	subge0d 11734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
56	54, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
57		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
58	57	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)))
59		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
60	59	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
61		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
62	61	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
63	35	leidi 11678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)
64	29	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
65		peano2nn 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
66	33	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
68	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
69		letr 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
70	67, 38, 68, 69	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
71	64, 70	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
72	58, 60, 62, 60, 63, 71	nnind 12186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
74	37, 39, 40, 56, 73	letrd 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
75	74	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
76		brralrspcev 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
77	35, 75, 76	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
78	1, 2, 28, 31, 77	climsup 15626	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
79	25, 78	eqbrtrrid 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80		climrel 15448	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ⇝
81	80	releldmi 5898	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
82	79, 81	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
83	1, 2, 10, 21, 82	isumclim2 15714	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
84		df-em 26973	. . . . . 6 ⊢ γ = Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
85	83, 25, 84	3brtr4g 5120	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
86		nnex 12174	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
87	86	mptex 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) ∈ V
88	22, 87	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ V)
90	22, 23, 24	emcllem4 26979	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⇝ 0
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
92	37	recnd 11167	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
93	39, 37	resubcld 11572	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
94	45, 93	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11167	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
96	45	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))))
97	39	recnd 11167	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
98	92, 97	pncan3d 11502	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
99	96, 98	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
100	1, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99	climadd 15588	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (γ + 0))
101	85	mptru 1549	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ⇝ γ
102		climcl 15455	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⇝ γ → γ ∈ ℂ)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ γ ∈ ℂ
104	103	addridi 11327	. . . 4 ⊢ (γ + 0) = γ
105	100, 104	breqtrdi 5127	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
106	105	mptru 1549	. 2 ⊢ 𝐹 ⇝ γ
107	106, 101	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5625  ran crn 5626  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  supcsup 9347  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℝ⁺crp 12936  ...cfz 13455  seqcseq 13957   ⇝ cli 15440  Σcsu 15642  logclog 26534  γcem 26972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536  df-em 26973

This theorem is referenced by:  emcllem7  26982