MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem6 26502
Description: Lemma for emcl 26504. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is Ξ³ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem6 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻   π‘š,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š,𝑛)   𝐺(π‘š,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12864 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12592 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
43oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / π‘˜)))
54fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
63, 5oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
7 emcl.4 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
8 ovex 7441 . . . . . . . . 9 ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
109adantl 482 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
11 nnrecre 12253 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
1211adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
13 1rp 12977 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
14 nnrp 12984 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1514rpreccld 13025 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
17 rpaddcl 12995 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1918relogcld 26130 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ)
2012, 19resubcld 11641 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ ℝ)
2120recnd 11241 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ β„‚)
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
2522, 23, 24, 7emcllem5 26501 . . . . . . . . 9 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
2622, 23emcllem1 26497 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2726simpri 486 . . . . . . . . . . 11 𝐺:β„•βŸΆβ„
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2922, 23emcllem2 26498 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
3029simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
32 1nn 12222 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
3326simpli 484 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:β„•βŸΆβ„
3433ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜1) ∈ ℝ
3627ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3833ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
41 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ V
425, 24, 41fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4422, 23, 24emcllem3 26499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4643, 45eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
47 1re 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
48 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
4947, 12, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
50 ltaddrp 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5147, 16, 50sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5249, 51rplogcld 26136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ+)
5346, 52eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 13019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
5539, 37subge0d 11803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
57 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜1))
5857breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)))
59 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
6059breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)))
61 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
6261breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
6335leidi 11747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)
6429simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
65 peano2nn 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
6633ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
69 letr 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7067, 38, 68, 69syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7164, 70mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 12229 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7437, 39, 40, 56, 73letrd 11370 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7574ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
76 brralrspcev 5208 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
7735, 75, 76sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
781, 2, 28, 31, 77climsup 15615 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
7925, 78eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80 climrel 15435 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
8180releldmi 5947 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
8279, 81syl 17 . . . . . . 7 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
831, 2, 10, 21, 82isumclim2 15703 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
84 df-em 26494 . . . . . 6 Ξ³ = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
8583, 25, 843brtr4g 5182 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
86 nnex 12217 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
8786mptex 7224 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›))) ∈ V
8822, 87eqeltri 2829 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐹 ∈ V)
9022, 23, 24emcllem4 26500 . . . . . 6 𝐻 ⇝ 0
9190a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐻 ⇝ 0)
9237recnd 11241 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9339, 37resubcld 11641 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
9445, 93eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9594recnd 11241 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9645oveq2d 7424 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))))
9739recnd 11241 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9892, 97pncan3d 11573 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))) = (πΉβ€˜π‘˜))
9996, 98eqtr2d 2773 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)))
1001, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99climadd 15575 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ (Ξ³ + 0))
10185mptru 1548 . . . . . 6 𝐺 ⇝ Ξ³
102 climcl 15442 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ Ξ³ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
103101, 102ax-mp 5 . . . . 5 Ξ³ ∈ β„‚
104103addridi 11400 . . . 4 (Ξ³ + 0) = Ξ³
105100, 104breqtrdi 5189 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ³)
106105mptru 1548 . 2 𝐹 ⇝ Ξ³
107106, 101pm3.2i 471 1 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„+crp 12973  ...cfz 13483  seqcseq 13965   ⇝ cli 15427  Ξ£csu 15631  logclog 26062  Ξ³cem 26493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-em 26494
This theorem is referenced by:  emcllem7  26503
  Copyright terms: Public domain W3C validator