MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem6 26741
Description: Lemma for emcl 26743. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is Ξ³ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem6 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻   π‘š,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š,𝑛)   𝐺(π‘š,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12869 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12597 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
43oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / π‘˜)))
54fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
63, 5oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
7 emcl.4 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
8 ovex 7444 . . . . . . . . 9 ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6997 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
109adantl 480 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
11 nnrecre 12258 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
1211adantl 480 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
13 1rp 12982 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
14 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1514rpreccld 13030 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
1615adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
17 rpaddcl 13000 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ+)
1918relogcld 26367 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ)
2012, 19resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ ℝ)
2120recnd 11246 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))) ∈ β„‚)
22 emcl.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
23 emcl.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
24 emcl.3 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
2522, 23, 24, 7emcllem5 26740 . . . . . . . . 9 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
2622, 23emcllem1 26736 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2726simpri 484 . . . . . . . . . . 11 𝐺:β„•βŸΆβ„
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
2922, 23emcllem2 26737 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
3029simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
3130adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
32 1nn 12227 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
3326simpli 482 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:β„•βŸΆβ„
3433ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜1) ∈ ℝ
3627ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3833ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4035a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
41 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ V
425, 24, 41fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
4422, 23, 24emcllem3 26738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4544adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
4643, 45eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
47 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
48 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
4947, 12, 48sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
50 ltaddrp 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5147, 16, 50sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 < (1 + (1 / π‘˜)))
5249, 51rplogcld 26373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))) ∈ ℝ+)
5346, 52eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))
5539, 37subge0d 11808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ↔ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
5654, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
57 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜1))
5857breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)))
59 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
6059breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)))
61 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
6261breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
6335leidi 11752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜1) ≀ (πΉβ€˜1)
6429simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
65 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
6633ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
6835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
69 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7067, 38, 68, 69syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7164, 70mpand 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜1)))
7258, 60, 62, 60, 63, 71nnind 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7437, 39, 40, 56, 73letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
7574ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1))
76 brralrspcev 5207 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜1)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
7735, 75, 76sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
781, 2, 28, 31, 77climsup 15620 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
7925, 78eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80 climrel 15440 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
8180releldmi 5946 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
8279, 81syl 17 . . . . . . 7 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
831, 2, 10, 21, 82isumclim2 15708 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq1( + , 𝑇) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜)))))
84 df-em 26733 . . . . . 6 Ξ³ = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((1 / π‘˜) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / π‘˜))))
8583, 25, 843brtr4g 5181 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
86 nnex 12222 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
8786mptex 7226 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›))) ∈ V
8822, 87eqeltri 2827 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐹 ∈ V)
9022, 23, 24emcllem4 26739 . . . . . 6 𝐻 ⇝ 0
9190a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐻 ⇝ 0)
9237recnd 11246 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9339, 37resubcld 11646 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
9445, 93eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9594recnd 11246 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9645oveq2d 7427 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)) = ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))))
9739recnd 11246 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9892, 97pncan3d 11578 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))) = (πΉβ€˜π‘˜))
9996, 98eqtr2d 2771 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((πΊβ€˜π‘˜) + (π»β€˜π‘˜)))
1001, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99climadd 15580 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ (Ξ³ + 0))
10185mptru 1546 . . . . . 6 𝐺 ⇝ Ξ³
102 climcl 15447 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ Ξ³ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
103101, 102ax-mp 5 . . . . 5 Ξ³ ∈ β„‚
104103addridi 11405 . . . 4 (Ξ³ + 0) = Ξ³
105100, 104breqtrdi 5188 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ³)
106105mptru 1546 . 2 𝐹 ⇝ Ξ³
107106, 101pm3.2i 469 1 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„+crp 12978  ...cfz 13488  seqcseq 13970   ⇝ cli 15432  Ξ£csu 15636  logclog 26299  Ξ³cem 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-em 26733
This theorem is referenced by:  emcllem7  26742
  Copyright terms: Public domain W3C validator