Theorem emcllem6 26909

Description: Lemma for emcl 26911. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is γ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem6	⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12778	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12506	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq2 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
4	3	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑘)))
5	4	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
6	3, 5	oveq12d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7		emcl.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
8		ovex 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
11		nnrecre 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
13		1rp 12897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
14		nnrp 12905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 12947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
17		rpaddcl 12917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 26530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ)
20	12, 19	resubcld 11548	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℂ)
22		emcl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
23		emcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
24		emcl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
25	22, 23, 24, 7	emcllem5 26908	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
26	22, 23	emcllem1 26904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
27	26	simpri 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
29	22, 23	emcllem2 26905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
30	29	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
32		1nn 12139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	26	simpli 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ
34	33	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ ℝ
36	27	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
38	33	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
40	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
41		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ V
42	5, 24, 41	fvmpt 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
44	22, 23, 24	emcllem3 26906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
46	43, 45	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
47		1re 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		readdcl 11092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
49	47, 12, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
50		ltaddrp 12932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
51	47, 16, 50	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
52	49, 51	rplogcld 26536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
53	46, 52	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 12941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
55	39, 37	subge0d 11710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
56	54, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
57		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
58	57	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)))
59		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
60	59	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
61		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
62	61	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
63	35	leidi 11654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)
64	29	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
65		peano2nn 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
66	33	ffvelcdmi 7017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
68	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
69		letr 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
70	67, 38, 68, 69	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
71	64, 70	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
72	58, 60, 62, 60, 63, 71	nnind 12146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
74	37, 39, 40, 56, 73	letrd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
75	74	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
76		brralrspcev 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
77	35, 75, 76	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
78	1, 2, 28, 31, 77	climsup 15577	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
79	25, 78	eqbrtrrid 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80		climrel 15399	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ⇝
81	80	releldmi 5890	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
82	79, 81	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
83	1, 2, 10, 21, 82	isumclim2 15665	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
84		df-em 26901	. . . . . 6 ⊢ γ = Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
85	83, 25, 84	3brtr4g 5126	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
86		nnex 12134	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
87	86	mptex 7159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) ∈ V
88	22, 87	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ V)
90	22, 23, 24	emcllem4 26907	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⇝ 0
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
92	37	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
93	39, 37	resubcld 11548	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
94	45, 93	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
96	45	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))))
97	39	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
98	92, 97	pncan3d 11478	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
99	96, 98	eqtr2d 2765	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
100	1, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99	climadd 15539	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (γ + 0))
101	85	mptru 1547	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ⇝ γ
102		climcl 15406	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⇝ γ → γ ∈ ℂ)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ γ ∈ ℂ
104	103	addridi 11303	. . . 4 ⊢ (γ + 0) = γ
105	100, 104	breqtrdi 5133	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
106	105	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝐹 ⇝ γ
107	106, 101	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ran crn 5620  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  supcsup 9330  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℝ⁺crp 12893  ...cfz 13410  seqcseq 13908   ⇝ cli 15391  Σcsu 15593  logclog 26461  γcem 26900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463  df-em 26901

This theorem is referenced by:  emcllem7  26910