Theorem emcllem6 26947

Description: Lemma for emcl 26949. By the previous lemmas, 𝐹 and 𝐺 must approach a common limit, which is γ by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem6	⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem6

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12887	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12615	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq2 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
4	3	oveq2d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑘)))
5	4	fveq2d 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
6	3, 5	oveq12d 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7		emcl.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
8		ovex 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) = ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
11		nnrecre 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
13		1rp 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
14		nnrp 13012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
15	14	rpreccld 13053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
17		rpaddcl 13023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 26568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ)
20	12, 19	resubcld 11657	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) ∈ ℂ)
22		emcl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
23		emcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
24		emcl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
25	22, 23, 24, 7	emcllem5 26946	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
26	22, 23	emcllem1 26942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
27	26	simpri 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
29	22, 23	emcllem2 26943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
30	29	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
32		1nn 12243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	26	simpli 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ
34	33	ffvelcdmi 7069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ ℝ
36	27	ffvelcdmi 7069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
38	33	ffvelcdmi 7069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
40	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
41		fvex 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ V
42	5, 24, 41	fvmpt 6982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
44	22, 23, 24	emcllem3 26944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
46	43, 45	eqtr3d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
47		1re 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		readdcl 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
49	47, 12, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ)
50		ltaddrp 13038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
51	47, 16, 50	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (1 + (1 / 𝑘)))
52	49, 51	rplogcld 26574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
53	46, 52	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 13047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
55	39, 37	subge0d 11819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
56	54, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
57		fveq2 6872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
58	57	breq1d 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)))
59		fveq2 6872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
60	59	breq1d 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)))
61		fveq2 6872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
62	61	breq1d 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
63	35	leidi 11763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1)
64	29	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
65		peano2nn 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
66	33	ffvelcdmi 7069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
68	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
69		letr 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
70	67, 38, 68, 69	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
71	64, 70	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘1)))
72	58, 60, 62, 60, 63, 71	nnind 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
74	37, 39, 40, 56, 73	letrd 11384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
75	74	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1))
76		brralrspcev 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
77	35, 75, 76	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) ≤ 𝑥)
78	1, 2, 28, 31, 77	climsup 15673	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
79	25, 78	eqbrtrrid 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
80		climrel 15495	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ⇝
81	80	releldmi 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( + , 𝑇) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
82	79, 81	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
83	1, 2, 10, 21, 82	isumclim2 15761	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑇) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
84		df-em 26939	. . . . . 6 ⊢ γ = Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
85	83, 25, 84	3brtr4g 5150	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
86		nnex 12238	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
87	86	mptex 7211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) ∈ V
88	22, 87	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ V)
90	22, 23, 24	emcllem4 26945	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⇝ 0
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ 0)
92	37	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
93	39, 37	resubcld 11657	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
94	45, 93	eqeltrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
96	45	oveq2d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) = ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))))
97	39	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
98	92, 97	pncan3d 11589	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
99	96, 98	eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
100	1, 2, 85, 89, 91, 92, 95, 99	climadd 15635	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (γ + 0))
101	85	mptru 1546	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ⇝ γ
102		climcl 15502	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⇝ γ → γ ∈ ℂ)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ γ ∈ ℂ
104	103	addridi 11414	. . . 4 ⊢ (γ + 0) = γ
105	100, 104	breqtrdi 5157	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
106	105	mptru 1546	. 2 ⊢ 𝐹 ⇝ γ
107	106, 101	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3457   class class class wbr 5116   ↦ cmpt 5198  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  supcsup 9446  ℂcc 11119  ℝcr 11120  0cc0 11121  1c1 11122   + caddc 11124   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11458   / cdiv 11886  ℕcn 12232  ℝ⁺crp 13000  ...cfz 13513  seqcseq 14008   ⇝ cli 15487  Σcsu 15689  logclog 26499  γcem 26938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-inf2 9647  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199  ax-addf 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-ioo 13357  df-ioc 13358  df-ico 13359  df-icc 13360  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-ef 16070  df-sin 16072  df-cos 16073  df-pi 16075  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-hom 17280  df-cco 17281  df-rest 17421  df-topn 17422  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-topgen 17442  df-pt 17443  df-prds 17446  df-xrs 17501  df-qtop 17506  df-imas 17507  df-xps 17509  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19036  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-cld 22942  df-ntr 22943  df-cls 22944  df-nei 23021  df-lp 23059  df-perf 23060  df-cn 23150  df-cnp 23151  df-haus 23238  df-tx 23485  df-hmeo 23678  df-fil 23769  df-fm 23861  df-flim 23862  df-flf 23863  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24807  df-limc 25804  df-dv 25805  df-log 26501  df-em 26939

This theorem is referenced by:  emcllem7  26948