Theorem mbflim 25591

Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbflim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
mbflim.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mbflim	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		mbflim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		mbflim.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
4	1	fvexi 6831	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7152	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
7	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbflim.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
9		mbflim.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10	9	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11	8, 10	mbfmptcl 25559	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7043	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7012	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
16	12	recld 15096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
17		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	17	fvmpt2 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
19	15, 16, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
20		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
21	20	fvmpt2 6935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
22	15, 12, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
23	22	fveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℜ‘𝐵))
24	19, 23	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
25	24	ralrimiva 3124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
26		nffvmpt1 6828	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘)
27		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℜ
28		nffvmpt1 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)
29	27, 28	nffv 6827	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
30	26, 29	nfeq 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
31		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
32		fveq2 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛))
33		2fveq3 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
34	32, 33	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
35	30, 31, 34	cbvralw 3274	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
36	25, 35	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
37	36	r19.21bi 3224	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
38	1, 3, 6, 7, 14, 37	climre 15508	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝ (ℜ‘𝐶))
39	11	ismbfcn2 25561	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
40	8, 39	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
41	40	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
42	11	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42	recld 15096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 2, 38, 41, 43	mbflimlem 25590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
45	4	mptex 7152	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
47	12	imcld 15097	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
48		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))
49	48	fvmpt2 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
50	15, 47, 49	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
51	22	fveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℑ‘𝐵))
52	50, 51	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
53	52	ralrimiva 3124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
54		nffvmpt1 6828	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘)
55		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℑ
56	55, 28	nffv 6827	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
57	54, 56	nfeq 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
58		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
59		fveq2 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛))
60		2fveq3 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
61	59, 60	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
62	57, 58, 61	cbvralw 3274	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
63	53, 62	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
64	63	r19.21bi 3224	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
65	1, 3, 46, 7, 14, 64	climim 15509	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ⇝ (ℑ‘𝐶))
66	40	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
67	42	imcld 15097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
68	1, 2, 65, 66, 67	mbflimlem 25590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
69		climcl 15401	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
70	3, 69	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
71	70	ismbfcn2 25561	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
72	44, 68, 71	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  ℂcc 10999  ℝcr 11000  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ℜcre 14999  ℑcim 15000   ⇝ cli 15386  MblFncmbf 25537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10321  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-acn 9830  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xadd 13007  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-mbf 25542

This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25647  mbfulm  26337