Theorem mbflim 25982

Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbflim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
mbflim.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mbflim	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝐶(𝑥, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑛)   𝑉(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem mbflim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		mbflim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		mbflim.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
4	1	fvexi 6897	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7227	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
7	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbflim.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
9		mbflim.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10	9	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11	8, 10	mbfmptcl 25950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7113	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7082	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
16	12	recld 15354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
17		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	17	fvmpt2 7003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
19	15, 16, 18	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
20		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
21	20	fvmpt2 7003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
22	15, 12, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
23	22	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℜ‘𝐵))
24	19, 23	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
25	24	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
26		nffvmpt1 6894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘)
27		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℜ
28		nffvmpt1 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)
29	27, 28	nffv 6893	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
30	26, 29	nfeq 2936	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
31		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
32		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛))
33		2fveq3 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
34	32, 33	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
35	30, 31, 34	cbvralw 3305	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
36	25, 35	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
37	36	r19.21bi 3255	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
38	1, 3, 6, 7, 14, 37	climre 15766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝ (ℜ‘𝐶))
39	11	ismbfcn2 25952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
40	8, 39	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
41	40	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
42	11	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42	recld 15354	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 2, 38, 41, 43	mbflimlem 25981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
45	4	mptex 7227	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
47	12	imcld 15355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
48		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))
49	48	fvmpt2 7003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
50	15, 47, 49	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
51	22	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℑ‘𝐵))
52	50, 51	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
53	52	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
54		nffvmpt1 6894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘)
55		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℑ
56	55, 28	nffv 6893	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
57	54, 56	nfeq 2936	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
58		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
59		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛))
60		2fveq3 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
61	59, 60	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
62	57, 58, 61	cbvralw 3305	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
63	53, 62	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
64	63	r19.21bi 3255	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
65	1, 3, 46, 7, 14, 64	climim 15767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ⇝ (ℑ‘𝐶))
66	40	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
67	42	imcld 15355	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
68	1, 2, 65, 66, 67	mbflimlem 25981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
69		climcl 15659	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
70	3, 69	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
71	70	ismbfcn2 25952	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
72	44, 68, 71	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  ℂcc 11191  ℝcr 11192  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ℜcre 15257  ℑcim 15258   ⇝ cli 15644  MblFncmbf 25928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xadd 13235  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-xmet 21664  df-met 21665  df-ovol 25778  df-vol 25779  df-mbf 25933

This theorem is used by:  mbfmullem2  26038  mbfulm  26726