MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbflim 25176
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbflim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbflim.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
mbflim.5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbflim.6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbflim (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑛,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐢(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem mbflim
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 mbflim.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 mbflim.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
41fvexi 6902 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
54mptex 7221 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ V)
72adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 mbflim.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
9 mbflim.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
109anassrs 468 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
118, 10mbfmptcl 25144 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1211an32s 650 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1312fmpttd 7111 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„‚)
1413ffvelcdmda 7083 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1612recld 15137 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
17 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))
1817fvmpt2 7006 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜π΅))
1915, 16, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜π΅))
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
2120fvmpt2 7006 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
2215, 12, 21syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
2322fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)) = (β„œβ€˜π΅))
2419, 23eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
2524ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
26 nffvmpt1 6899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜)
27 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘›β„œ
28 nffvmpt1 6899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)
2927, 28nffv 6898 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
3026, 29nfeq 2916 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
31 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
32 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›))
33 2fveq3 6893 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
3432, 33eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))))
3530, 31, 34cbvralw 3303 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
3625, 35sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
3736r19.21bi 3248 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
381, 3, 6, 7, 14, 37climre 15546 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ⇝ (β„œβ€˜πΆ))
3911ismbfcn2 25146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)))
408, 39mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn))
4140simpld 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
4211anasss 467 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4342recld 15137 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
441, 2, 38, 41, 43mbflimlem 25175 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn)
454mptex 7221 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ V
4645a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ V)
4712imcld 15138 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
48 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))
4948fvmpt2 7006 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜π΅))
5015, 47, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜π΅))
5122fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)) = (β„‘β€˜π΅))
5250, 51eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
5352ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
54 nffvmpt1 6899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜)
55 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛ℑ
5655, 28nffv 6898 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
5754, 56nfeq 2916 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
58 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
59 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›))
60 2fveq3 6893 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
6159, 60eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))))
6257, 58, 61cbvralw 3303 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
6353, 62sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
6463r19.21bi 3248 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
651, 3, 46, 7, 14, 64climim 15547 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ⇝ (β„‘β€˜πΆ))
6640simprd 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)
6742imcld 15138 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
681, 2, 65, 66, 67mbflimlem 25175 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)
69 climcl 15439 . . . 4 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
703, 69syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7170ismbfcn2 25146 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)))
7244, 68, 71mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  β„‚cc 11104  β„cr 11105  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„œcre 15040  β„‘cim 15041   ⇝ cli 15424  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25233  mbfulm  25909
  Copyright terms: Public domain W3C validator