MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflim 25032
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflim.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbflim (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 mbflim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 mbflim.4 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
41fvexi 6856 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
54mptex 7173 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
72adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 mbflim.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
9 mbflim.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵𝑉)
109anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
118, 10mbfmptcl 25000 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1211an32s 650 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
1312fmpttd 7063 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℂ)
1413ffvelcdmda 7035 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
15 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1612recld 15079 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))
1817fvmpt2 6959 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
1915, 16, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
2120fvmpt2 6959 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
2215, 12, 21syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
2322fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)) = (ℜ‘𝐵))
2419, 23eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
2524ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
26 nffvmpt1 6853 . . . . . . . 8 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘)
27 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛
28 nffvmpt1 6853 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)
2927, 28nffv 6852 . . . . . . . 8 𝑛(ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
3026, 29nfeq 2920 . . . . . . 7 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
31 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
32 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛))
33 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3432, 33eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))))
3530, 31, 34cbvralw 3289 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3625, 35sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
3736r19.21bi 3234 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
381, 3, 6, 7, 14, 37climre 15488 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝ (ℜ‘𝐶))
3911ismbfcn2 25002 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
408, 39mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
4140simpld 495 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4211anasss 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4342recld 15079 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
441, 2, 38, 41, 43mbflimlem 25031 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
454mptex 7173 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V
4645a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
4712imcld 15080 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
48 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))
4948fvmpt2 6959 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
5015, 47, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
5122fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)) = (ℑ‘𝐵))
5250, 51eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
5352ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
54 nffvmpt1 6853 . . . . . . . 8 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘)
55 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛
5655, 28nffv 6852 . . . . . . . 8 𝑛(ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
5754, 56nfeq 2920 . . . . . . 7 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
58 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
59 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛))
60 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6159, 60eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))))
6257, 58, 61cbvralw 3289 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6353, 62sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
6463r19.21bi 3234 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
651, 3, 46, 7, 14, 64climim 15489 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ⇝ (ℑ‘𝐶))
6640simprd 496 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
6742imcld 15080 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
681, 2, 65, 66, 67mbflimlem 25031 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
69 climcl 15381 . . . 4 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
703, 69syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7170ismbfcn2 25002 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
7244, 68, 71mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  cc 11049  cr 11050  cz 12499  cuz 12763  cre 14982  cim 14983  cli 15366  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25089  mbfulm  25765
  Copyright terms: Public domain W3C validator