Theorem mbflim 23835

Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbflim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
mbflim.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mbflim	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		mbflim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		mbflim.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
4	1	fvexi 6448	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 6743	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
7	2	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbflim.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
9		mbflim.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10	9	anassrs 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11	8, 10	mbfmptcl 23803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	an32s 644	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 6635	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℂ)
14	13	ffvelrnda 6609	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
15		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
16	12	recld 14312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
17		eqid 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	17	fvmpt2 6539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
19	15, 16, 18	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
20		eqid 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
21	20	fvmpt2 6539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
22	15, 12, 21	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
23	22	fveq2d 6438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℜ‘𝐵))
24	19, 23	eqtr4d 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
25	24	ralrimiva 3176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
26		nffvmpt1 6445	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘)
27		nfcv 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℜ
28		nffvmpt1 6445	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)
29	27, 28	nffv 6444	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
30	26, 29	nfeq 2982	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
31		nfv 2015	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
32		fveq2 6434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛))
33		2fveq3 6439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
34	32, 33	eqeq12d 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
35	30, 31, 34	cbvral 3380	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
36	25, 35	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
37	36	r19.21bi 3142	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
38	1, 3, 6, 7, 14, 37	climre 14714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝ (ℜ‘𝐶))
39	11	ismbfcn2 23805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
40	8, 39	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
41	40	simpld 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
42	11	anasss 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42	recld 14312	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 2, 38, 41, 43	mbflimlem 23834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
45	4	mptex 6743	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
47	12	imcld 14313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
48		eqid 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))
49	48	fvmpt2 6539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
50	15, 47, 49	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
51	22	fveq2d 6438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℑ‘𝐵))
52	50, 51	eqtr4d 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
53	52	ralrimiva 3176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
54		nffvmpt1 6445	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘)
55		nfcv 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℑ
56	55, 28	nffv 6444	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
57	54, 56	nfeq 2982	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
58		nfv 2015	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
59		fveq2 6434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛))
60		2fveq3 6439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
61	59, 60	eqeq12d 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
62	57, 58, 61	cbvral 3380	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
63	53, 62	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
64	63	r19.21bi 3142	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
65	1, 3, 46, 7, 14, 64	climim 14715	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ⇝ (ℑ‘𝐶))
66	40	simprd 491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
67	42	imcld 14313	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
68	1, 2, 65, 66, 67	mbflimlem 23834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
69		climcl 14608	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
70	3, 69	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
71	70	ismbfcn2 23805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
72	44, 68, 71	mpbir2and 706	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118  Vcvv 3415   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ‘cfv 6124  ℂcc 10251  ℝcr 10252  ℤcz 11705  ℤ_≥cuz 11969  ℜcre 14215  ℑcim 14216   ⇝ cli 14593  MblFncmbf 23781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cc 9573  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-disj 4843  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-acn 9082  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xadd 12234  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-xmet 20100  df-met 20101  df-ovol 23631  df-vol 23632  df-mbf 23786

This theorem is referenced by:  mbfmullem2  23891  mbfulm  24560