MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflim 25048
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbflim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbflim.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
mbflim.5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbflim.6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbflim (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑛,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐢(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 mbflim.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 mbflim.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
41fvexi 6861 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
54mptex 7178 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ V)
72adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 mbflim.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
9 mbflim.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
109anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
118, 10mbfmptcl 25016 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1211an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1312fmpttd 7068 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„‚)
1413ffvelcdmda 7040 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1612recld 15086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))
1817fvmpt2 6964 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜π΅))
1915, 16, 18syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜π΅))
20 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
2120fvmpt2 6964 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
2215, 12, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
2322fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)) = (β„œβ€˜π΅))
2419, 23eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
2524ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
26 nffvmpt1 6858 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜)
27 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘›β„œ
28 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)
2927, 28nffv 6857 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
3026, 29nfeq 2921 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
31 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
32 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›))
33 2fveq3 6852 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
3432, 33eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))))
3530, 31, 34cbvralw 3292 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
3625, 35sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
3736r19.21bi 3237 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
381, 3, 6, 7, 14, 37climre 15495 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ⇝ (β„œβ€˜πΆ))
3911ismbfcn2 25018 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)))
408, 39mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn))
4140simpld 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
4211anasss 468 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4342recld 15086 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
441, 2, 38, 41, 43mbflimlem 25047 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn)
454mptex 7178 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ V
4645a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ V)
4712imcld 15087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
48 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))
4948fvmpt2 6964 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜π΅))
5015, 47, 49syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜π΅))
5122fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)) = (β„‘β€˜π΅))
5250, 51eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
5352ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
54 nffvmpt1 6858 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜)
55 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛ℑ
5655, 28nffv 6857 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
5754, 56nfeq 2921 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
58 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
59 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›))
60 2fveq3 6852 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
6159, 60eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))))
6257, 58, 61cbvralw 3292 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
6353, 62sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
6463r19.21bi 3237 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
651, 3, 46, 7, 14, 64climim 15496 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ⇝ (β„‘β€˜πΆ))
6640simprd 497 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)
6742imcld 15087 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
681, 2, 65, 66, 67mbflimlem 25047 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)
69 climcl 15388 . . . 4 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
703, 69syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7170ismbfcn2 25018 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)))
7244, 68, 71mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  β„cr 11057  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„œcre 14989  β„‘cim 14990   ⇝ cli 15373  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25105  mbfulm  25781
  Copyright terms: Public domain W3C validator