Theorem mbflim 25616

Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbflim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
mbflim.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mbflim	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		mbflim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		mbflim.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
4	1	fvexi 6845	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
7	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbflim.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
9		mbflim.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
10	9	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11	8, 10	mbfmptcl 25584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7026	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
16	12	recld 15108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
17		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	17	fvmpt2 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
19	15, 16, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
20		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
21	20	fvmpt2 6949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
22	15, 12, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
23	22	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℜ‘𝐵))
24	19, 23	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
25	24	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
26		nffvmpt1 6842	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘)
27		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℜ
28		nffvmpt1 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)
29	27, 28	nffv 6841	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
30	26, 29	nfeq 2909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
31		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
32		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛))
33		2fveq3 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
34	32, 33	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
35	30, 31, 34	cbvralw 3275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
36	25, 35	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
37	36	r19.21bi 3225	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
38	1, 3, 6, 7, 14, 37	climre 15520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝ (ℜ‘𝐶))
39	11	ismbfcn2 25586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
40	8, 39	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
41	40	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
42	11	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42	recld 15108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 2, 38, 41, 43	mbflimlem 25615	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
45	4	mptex 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
47	12	imcld 15109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
48		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))
49	48	fvmpt2 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
50	15, 47, 49	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
51	22	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)) = (ℑ‘𝐵))
52	50, 51	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
53	52	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
54		nffvmpt1 6842	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘)
55		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛ℑ
56	55, 28	nffv 6841	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
57	54, 56	nfeq 2909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
58		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))
59		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛))
60		2fveq3 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
61	59, 60	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛))))
62	57, 58, 61	cbvralw 3275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑛)))
63	53, 62	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
64	63	r19.21bi 3225	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
65	1, 3, 46, 7, 14, 64	climim 15521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ⇝ (ℑ‘𝐶))
66	40	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
67	42	imcld 15109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
68	1, 2, 65, 66, 67	mbflimlem 25615	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
69		climcl 15413	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
70	3, 69	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
71	70	ismbfcn2 25586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
72	44, 68, 71	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  ℂcc 11015  ℝcr 11016  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ℜcre 15011  ℑcim 15012   ⇝ cli 15398  MblFncmbf 25562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cc 10337  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-dju 9805  df-card 9843  df-acn 9846  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xadd 13018  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-xmet 21293  df-met 21294  df-ovol 25412  df-vol 25413  df-mbf 25567

This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25672  mbfulm  26362