MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbflim 25185
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbflim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbflim.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
mbflim.5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbflim.6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbflim (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑛,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐢(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem mbflim
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 mbflim.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 mbflim.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
41fvexi 6906 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
54mptex 7225 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ V)
72adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 mbflim.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
9 mbflim.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
109anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
118, 10mbfmptcl 25153 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1211an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1312fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„‚)
1413ffvelcdmda 7087 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
15 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1612recld 15141 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))
1817fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜π΅))
1915, 16, 18syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜π΅))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
2120fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
2215, 12, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
2322fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)) = (β„œβ€˜π΅))
2419, 23eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
2524ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
26 nffvmpt1 6903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜)
27 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘›β„œ
28 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)
2927, 28nffv 6902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
3026, 29nfeq 2917 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
31 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
32 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›))
33 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
3432, 33eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))))
3530, 31, 34cbvralw 3304 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
3625, 35sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
3736r19.21bi 3249 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„œβ€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
381, 3, 6, 7, 14, 37climre 15550 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ⇝ (β„œβ€˜πΆ))
3911ismbfcn2 25155 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)))
408, 39mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn))
4140simpld 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
4211anasss 468 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4342recld 15141 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
441, 2, 38, 41, 43mbflimlem 25184 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn)
454mptex 7225 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ V
4645a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ V)
4712imcld 15142 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))
4948fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜π΅))
5015, 47, 49syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜π΅))
5122fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)) = (β„‘β€˜π΅))
5250, 51eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
5352ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
54 nffvmpt1 6903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜)
55 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛ℑ
5655, 28nffv 6902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
5754, 56nfeq 2917 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))
58 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
59 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›))
60 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
6159, 60eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))))
6257, 58, 61cbvralw 3304 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘›) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
6353, 62sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
6463r19.21bi 3249 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅))β€˜π‘˜) = (β„‘β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
651, 3, 46, 7, 14, 64climim 15551 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ⇝ (β„‘β€˜πΆ))
6640simprd 497 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ MblFn)
6742imcld 15142 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
681, 2, 65, 66, 67mbflimlem 25184 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)
69 climcl 15443 . . . 4 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
703, 69syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7170ismbfcn2 25155 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ MblFn)))
7244, 68, 71mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  β„cr 11109  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„œcre 15044  β„‘cim 15045   ⇝ cli 15428  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25242  mbfulm  25918
  Copyright terms: Public domain W3C validator