Theorem divccn 25133

Description: Division by a nonzero constant is a continuous operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) Avoid ax-mulf 11229. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
divccn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Proof of Theorem divccn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrec 11937	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 / 𝐴) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑥 / 𝐴) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
3	2	ancoms 464	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / 𝐴) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
4	3	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (1 / 𝐴))))
5		expcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
6	5	cnfldtopon 25040	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
8	7	cnmptid 23919	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
9		reccl 11928	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
10	7, 7, 9	cnmptc 23920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
11	5	mpomulcn 25127	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
13		oveq12 7425	. . 3 ⊢ ((𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = (1 / 𝐴)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
14	7, 8, 10, 7, 7, 12, 13	cnmpt12 23925	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (1 / 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
15	4, 14	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℂcc 11147  0cc0 11149  1c1 11150   · cmul 11154   / cdiv 11920  TopOpenctopn 17531  ℂ_fldccnfld 21617  TopOnctopon 23167   Cn ccn 23481   ×_t ctx 23818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-mulg 19217  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580

This theorem is used by:  icchmeo  25201  pcoass  25284  dipcn  31233  sinccvglem  36334