Theorem sqrtcn 26952

Description: Continuity of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
sqrtcn	⊢ (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Proof of Theorem sqrtcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15441	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6956	. . . . 5 ⊢ (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5982	. . . 4 ⊢ (⊤ → (√ ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷))
5		sqrcn.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6		difss 4093	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
7	5, 6	eqsstri 3986	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
8		resmpt 6044	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
9	7, 8	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
10	7	sseli 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
12		cxpsqrt 26905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
14	13	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (√‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / 2)))
15	14	mpteq2dva 5209	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
16	4, 9, 15	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (⊤ → (√ ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
17		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18	17	cnfldtopon 24976	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20		resttopon 23355	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
21	19, 7, 20	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
22	21	cnmptid 23855	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)))
23		ax-1cn 11176	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		halfcl 12488	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
25	23, 24	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
26	21, 19, 25	cnmptc 23856	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
28	5, 17, 27	cxpcn 26947	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐷, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30		oveq12 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐(1 / 2)))
31	21, 22, 26, 21, 19, 29, 30	cnmpt12 23861	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32		ssid 3962	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
33	18	toponrestid 23115	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
34	17, 27, 33	cncfcn 25106	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35	7, 32, 34	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
36	31, 35	eleqtrrdi 2877	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
37	16, 36	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ (⊤ → (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
38	37	mptru 1577	1 ⊢ (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119  -∞cmnf 11259   / cdiv 11889  2c2 12313  (,]cioc 13391  √csqrt 15310   ↾_t crest 17498  TopOpenctopn 17499  ℂ_fldccnfld 21559  TopOnctopon 23104   Cn ccn 23418   ×_t ctx 23754  –cn→ccncf 25072  ↑_𝑐ccxp 26757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-tan 16150  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-cmp 23581  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cxp 26759

This theorem is used by: (None)