MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtcn 26730
Description: Continuity of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
sqrtcn (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)

Proof of Theorem sqrtcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 15346 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
32feqmptd 6966 . . . . 5 (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
43reseq1d 5984 . . . 4 (⊤ → (√ ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷))
5 sqrcn.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 difss 4128 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
75, 6eqsstri 4011 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
8 resmpt 6042 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
97, 8mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
107sseli 3972 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
1110adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
12 cxpsqrt 26682 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
1413eqcomd 2731 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (√‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / 2)))
1514mpteq2dva 5249 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))))
164, 9, 153eqtrd 2769 . . 3 (⊤ → (√ ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))))
17 eqid 2725 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1817cnfldtopon 24743 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1918a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
20 resttopon 23109 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
2119, 7, 20sylancl 584 . . . . 5 (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
2221cnmptid 23609 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)))
23 ax-1cn 11198 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 halfcl 12470 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
2523, 24mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
2621, 19, 25cnmptc 23610 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27 eqid 2725 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
285, 17, 27cxpcn 26724 . . . . . 6 (𝑦𝐷, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2928a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑦𝐷, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30 oveq12 7428 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦𝑐𝑧) = (𝑥𝑐(1 / 2)))
3121, 22, 26, 21, 19, 29, 30cnmpt12 23615 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32 ssid 3999 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3318toponrestid 22867 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
3417, 27, 33cncfcn 24874 . . . . 5 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
357, 32, 34mp2an 690 . . . 4 (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3631, 35eleqtrrdi 2836 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
3716, 36eqeltrd 2825 . 2 (⊤ → (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ))
3837mptru 1540 1 (√ ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  cdif 3941  wss 3944  cmpt 5232  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141  -∞cmnf 11278   / cdiv 11903  2c2 12300  (,]cioc 13360  csqrt 15216  t crest 17405  TopOpenctopn 17406  fldccnfld 21296  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172   ×t ctx 23508  cnccncf 24840  𝑐ccxp 26534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-tan 16051  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator