Theorem mulcncf 25413

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) Avoid ax-mulf 11118. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncf.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
mulcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mulcncf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24747	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3		mulcncf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
4		cncfrss 24858	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		resttopon 23126	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
7	2, 5, 6	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
8		ssid 3944	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
10	2	toponrestid 22886	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
11	1, 9, 10	cncfcn 24877	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12	5, 8, 11	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	3, 12	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14		mulcncf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	14, 12	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
17	1	mpomulcn 24834	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
19		oveq12 7376	. . 3 ⊢ ((𝑢 = 𝐴 ∧ 𝑣 = 𝐵) → (𝑢 · 𝑣) = (𝐴 · 𝐵))
20	7, 13, 15, 16, 16, 18, 19	cnmpt12 23632	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21	20, 12	eleqtrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ℂcc 11036   · cmul 11043   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21352  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189   ×_t ctx 23525  –cn→ccncf 24843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845

This theorem is referenced by:  divcncf  25414  dvlipcn  25961  dvfsumabs  25990  itgparts  26014  itgsubstlem  26015  itgpowd  26017  lgamgulmlem2  26993  pntlem3  27572  efmul2picn  34740  circlemeth  34784  logdivsqrle  34794  ftc1cnnclem  38012  ftc2nc  38023  areacirclem3  38031  areacirclem4  38032  areacirc  38034  3factsumint3  42462  lcmineqlem10  42477  lcmineqlem12  42479  areaquad  43644  mulcncff  46298  fprodcncf  46328  itgsinexplem1  46382  itgcoscmulx  46397  itgsincmulx  46402  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  fourierdlem16  46551  fourierdlem18  46553  fourierdlem21  46556  fourierdlem22  46557  fourierdlem39  46574  fourierdlem40  46575  fourierdlem62  46596  fourierdlem68  46602  fourierdlem73  46607  fourierdlem76  46610  fourierdlem78  46612  fourierdlem83  46617  fourierdlem84  46618  fourierdlem101  46635  fourierdlem111  46645  sqwvfoura  46656  sqwvfourb  46657  etransclem18  46680  etransclem22  46684  etransclem34  46696  etransclem46  46708