Theorem mulcncf 25768

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) Avoid ax-mulf 11281. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncf.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
mulcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mulcncf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 25102	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3		mulcncf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
4		cncfrss 25213	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		resttopon 23480	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
7	2, 5, 6	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
8		ssid 3951	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
10	2	toponrestid 23240	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
11	1, 9, 10	cncfcn 25232	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12	5, 8, 11	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	3, 12	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14		mulcncf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	14, 12	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
17	1	mpomulcn 25189	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
19		oveq12 7430	. . 3 ⊢ ((𝑢 = 𝐴 ∧ 𝑣 = 𝐵) → (𝑢 · 𝑣) = (𝐴 · 𝐵))
20	7, 13, 15, 16, 16, 18, 19	cnmpt12 23987	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21	20, 12	eleqtrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ℂcc 11199   · cmul 11206   ↾_t crest 17592  TopOpenctopn 17593  ℂ_fldccnfld 21679  TopOnctopon 23229   Cn ccn 23543   ×_t ctx 23880  –cn→ccncf 25198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200

This theorem is used by:  divcncf  25769  dvlipcn  26315  dvfsumabs  26344  itgparts  26368  itgsubstlem  26369  itgpowd  26371  lgamgulmlem2  27358  pntlem3  27937  efmul2picn  35226  circlemeth  35270  logdivsqrle  35280  ftc1cnnclem  38611  ftc2nc  38622  areacirclem3  38630  areacirclem4  38631  areacirc  38633  3factsumint3  43075  lcmineqlem10  43090  lcmineqlem12  43092  areaquad  44219  mulcncff  46881  fprodcncf  46911  itgsinexplem1  46965  itgcoscmulx  46980  itgsincmulx  46985  dirkercncflem2  47115  dirkercncflem4  47117  fourierdlem16  47134  fourierdlem18  47136  fourierdlem21  47139  fourierdlem22  47140  fourierdlem39  47157  fourierdlem40  47158  fourierdlem62  47179  fourierdlem68  47185  fourierdlem73  47190  fourierdlem76  47193  fourierdlem78  47195  fourierdlem83  47200  fourierdlem84  47201  fourierdlem101  47218  fourierdlem111  47228  sqwvfoura  47239  sqwvfourb  47240  etransclem18  47263  etransclem22  47267  etransclem34  47279  etransclem46  47291