Theorem mulcncf 25494

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) Avoid ax-mulf 11233. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncf.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
mulcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mulcncf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24819	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3		mulcncf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
4		cncfrss 24931	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		resttopon 23185	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
7	2, 5, 6	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
8		ssid 4018	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
10	2	toponrestid 22943	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
11	1, 9, 10	cncfcn 24950	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12	5, 8, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	3, 12	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14		mulcncf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	14, 12	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
17	1	mpomulcn 24905	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
19		oveq12 7440	. . 3 ⊢ ((𝑢 = 𝐴 ∧ 𝑣 = 𝐵) → (𝑢 · 𝑣) = (𝐴 · 𝐵))
20	7, 13, 15, 16, 16, 18, 19	cnmpt12 23691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21	20, 12	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℂcc 11151   · cmul 11158   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ℂ_fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×_t ctx 23584  –cn→ccncf 24916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918

This theorem is referenced by:  divcncf  25496  dvlipcn  26048  dvfsumabs  26078  itgparts  26103  itgsubstlem  26104  itgpowd  26106  lgamgulmlem2  27088  pntlem3  27668  efmul2picn  34590  circlemeth  34634  logdivsqrle  34644  ftc1cnnclem  37678  ftc2nc  37689  areacirclem3  37697  areacirclem4  37698  areacirc  37700  3factsumint3  42005  lcmineqlem10  42020  lcmineqlem12  42022  areaquad  43205  mulcncff  45826  fprodcncf  45856  itgsinexplem1  45910  itgcoscmulx  45925  itgsincmulx  45930  dirkercncflem2  46060  dirkercncflem4  46062  fourierdlem16  46079  fourierdlem18  46081  fourierdlem21  46084  fourierdlem22  46085  fourierdlem39  46102  fourierdlem40  46103  fourierdlem62  46124  fourierdlem68  46130  fourierdlem73  46135  fourierdlem76  46138  fourierdlem78  46140  fourierdlem83  46145  fourierdlem84  46146  fourierdlem101  46163  fourierdlem111  46173  sqwvfoura  46184  sqwvfourb  46185  etransclem18  46208  etransclem22  46212  etransclem34  46224  etransclem46  46236