Theorem resqrtcn 26706

Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcn	⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Proof of Theorem resqrtcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15278	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6899	. . . . 5 ⊢ (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5934	. . . 4 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)))
5		elrege0 13361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	ssriv 3934	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
9		resmpt 5993	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
11	4, 10	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
12	11	mptru 1548	. 2 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
13		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
14		resqrtcl 15167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
15	5, 14	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
16	13, 15	fmpti 7054	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ
17		ax-resscn 11074	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		cxpsqrt 26659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
20	19	mpteq2ia 5190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
21		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 24717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
24		resttopon 23096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
25	23, 8, 24	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
26	25	cnmptid 23596	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
27		cnvimass 6038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
28		ref 15026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
29	28	fdmi 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ℜ = ℂ
30	27, 29	sseqtri 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
31		resttopon 23096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
32	23, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
33		halfcn 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34		1rp 12900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
35		rphalfcl 12925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
37		rpre 12905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
38		rere 15036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2)
40	39, 36	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+
41		ffn 6659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
42		elpreima 7000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ Fn ℂ → ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+)))
43	28, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+))
44	33, 40, 43	mpbir2an 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
46	25, 32, 45	cnmptc 23597	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))))
47		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) = (◡ℜ “ ℝ+)
48		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
49		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))
50	47, 21, 48, 49	cxpcn3 26705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
52		oveq12 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐(1 / 2)))
53	25, 26, 46, 25, 32, 51, 52	cnmpt12 23602	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
54		ssid 3953	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
55	22	toponrestid 22856	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
56	21, 48, 55	cncfcn 24850	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
57	8, 54, 56	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	53, 57	eleqtrrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
59	20, 58	eqeltrrid 2838	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
60	59	mptru 1548	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
61		cncfcdm 24838	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ))
62	17, 60, 61	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
63	16, 62	mpbir 231	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
64	12, 63	eqeltri 2829	1 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   ↾ cres 5623   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018  +∞cpnf 11154   ≤ cle 11158   / cdiv 11785  2c2 12191  ℝ⁺crp 12896  [,)cico 13254  ℜcre 15011  √csqrt 15147   ↾_t crest 17331  TopOpenctopn 17332  ℂ_fldccnfld 21300  TopOnctopon 22845   Cn ccn 23159   ×_t ctx 23495  –cn→ccncf 24816  ↑_𝑐ccxp 26511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-tan 15985  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-cmp 23322  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512  df-cxp 26513

This theorem is referenced by:  loglesqrt  26718  rpsqrtcn  34678  areacirclem2  37822