Theorem resqrtcn 25807

Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcn	⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Proof of Theorem resqrtcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15003	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5879	. . . 4 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)))
5		elrege0 13115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	ssriv 3921	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
9		resmpt 5934	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
11	4, 10	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
12	11	mptru 1546	. 2 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
14		resqrtcl 14893	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
15	5, 14	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
16	13, 15	fmpti 6968	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ
17		ax-resscn 10859	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		cxpsqrt 25763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
20	19	mpteq2ia 5173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
21		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 23852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
24		resttopon 22220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
25	23, 8, 24	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
26	25	cnmptid 22720	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
27		cnvimass 5978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
28		ref 14751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
29	28	fdmi 6596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ℜ = ℂ
30	27, 29	sseqtri 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
31		resttopon 22220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
32	23, 30, 31	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
33		halfcn 12118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34		1rp 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
35		rphalfcl 12686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
37		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
38		rere 14761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2)
40	39, 36	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+
41		ffn 6584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
42		elpreima 6917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ Fn ℂ → ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+)))
43	28, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+))
44	33, 40, 43	mpbir2an 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
46	25, 32, 45	cnmptc 22721	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))))
47		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) = (◡ℜ “ ℝ+)
48		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
49		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))
50	47, 21, 48, 49	cxpcn3 25806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
52		oveq12 7264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐(1 / 2)))
53	25, 26, 46, 25, 32, 51, 52	cnmpt12 22726	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
54		ssid 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
55	22	toponrestid 21978	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
56	21, 48, 55	cncfcn 23979	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
57	8, 54, 56	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	53, 57	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
59	20, 58	eqeltrrid 2844	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
60	59	mptru 1546	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
61		cncffvrn 23967	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ))
62	17, 60, 61	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
63	16, 62	mpbir 230	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
64	12, 63	eqeltri 2835	1 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  [,)cico 13010  ℜcre 14736  √csqrt 14872   ↾_t crest 17048  TopOpenctopn 17049  ℂ_fldccnfld 20510  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283   ×_t ctx 22619  –cn→ccncf 23945  ↑_𝑐ccxp 25616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-tan 15709  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618

This theorem is referenced by:  loglesqrt  25816  rpsqrtcn  32473  areacirclem2  35793