Theorem resqrtcn 25902

Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcn	⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Proof of Theorem resqrtcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15075	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6837	. . . . 5 ⊢ (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5890	. . . 4 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)))
5		elrege0 13186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	ssriv 3925	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
9		resmpt 5945	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
11	4, 10	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
12	11	mptru 1546	. 2 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
14		resqrtcl 14965	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
15	5, 14	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
16	13, 15	fmpti 6986	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ
17		ax-resscn 10928	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		cxpsqrt 25858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
20	19	mpteq2ia 5177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
21		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 23946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
24		resttopon 22312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
25	23, 8, 24	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
26	25	cnmptid 22812	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
27		cnvimass 5989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
28		ref 14823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
29	28	fdmi 6612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ℜ = ℂ
30	27, 29	sseqtri 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
31		resttopon 22312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
32	23, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
33		halfcn 12188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34		1rp 12734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
35		rphalfcl 12757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
37		rpre 12738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
38		rere 14833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2)
40	39, 36	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+
41		ffn 6600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
42		elpreima 6935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ Fn ℂ → ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+)))
43	28, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+))
44	33, 40, 43	mpbir2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
46	25, 32, 45	cnmptc 22813	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))))
47		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) = (◡ℜ “ ℝ+)
48		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
49		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))
50	47, 21, 48, 49	cxpcn3 25901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
52		oveq12 7284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐(1 / 2)))
53	25, 26, 46, 25, 32, 51, 52	cnmpt12 22818	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
54		ssid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
55	22	toponrestid 22070	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
56	21, 48, 55	cncfcn 24073	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
57	8, 54, 56	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	53, 57	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
59	20, 58	eqeltrrid 2844	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
60	59	mptru 1546	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
61		cncffvrn 24061	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ))
62	17, 60, 61	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
63	16, 62	mpbir 230	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
64	12, 63	eqeltri 2835	1 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   ↾ cres 5591   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  +∞cpnf 11006   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  ℜcre 14808  √csqrt 14944   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375   ×_t ctx 22711  –cn→ccncf 24039  ↑_𝑐ccxp 25711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713

This theorem is referenced by:  loglesqrt  25911  rpsqrtcn  32573  areacirclem2  35866