Theorem resqrtcn 26102

Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcn	⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Proof of Theorem resqrtcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15248	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6910	. . . . 5 ⊢ (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5936	. . . 4 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)))
5		elrege0 13371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	ssriv 3948	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
9		resmpt 5991	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
11	4, 10	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
12	11	mptru 1548	. 2 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
14		resqrtcl 15138	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
15	5, 14	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
16	13, 15	fmpti 7060	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ
17		ax-resscn 11108	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		cxpsqrt 26058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
20	19	mpteq2ia 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
21		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 24146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
24		resttopon 22512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
25	23, 8, 24	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
26	25	cnmptid 23012	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
27		cnvimass 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
28		ref 14997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
29	28	fdmi 6680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ℜ = ℂ
30	27, 29	sseqtri 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
31		resttopon 22512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
32	23, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
33		halfcn 12368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34		1rp 12919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
35		rphalfcl 12942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
37		rpre 12923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
38		rere 15007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2)
40	39, 36	eqeltri 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+
41		ffn 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
42		elpreima 7008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ Fn ℂ → ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+)))
43	28, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+))
44	33, 40, 43	mpbir2an 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
46	25, 32, 45	cnmptc 23013	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))))
47		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) = (◡ℜ “ ℝ+)
48		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
49		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))
50	47, 21, 48, 49	cxpcn3 26101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
52		oveq12 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐(1 / 2)))
53	25, 26, 46, 25, 32, 51, 52	cnmpt12 23018	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
54		ssid 3966	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
55	22	toponrestid 22270	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
56	21, 48, 55	cncfcn 24273	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
57	8, 54, 56	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	53, 57	eleqtrrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
59	20, 58	eqeltrrid 2843	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
60	59	mptru 1548	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
61		cncfcdm 24261	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ))
62	17, 60, 61	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
63	16, 62	mpbir 230	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
64	12, 63	eqeltri 2834	1 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   ↾ cres 5635   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  +∞cpnf 11186   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  ℜcre 14982  √csqrt 15118   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  ℂ_fldccnfld 20796  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575   ×_t ctx 22911  –cn→ccncf 24239  ↑_𝑐ccxp 25911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913

This theorem is referenced by:  loglesqrt  26111  rpsqrtcn  33206  areacirclem2  36167