MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtcn 26054
Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
resqrtcn (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Proof of Theorem resqrtcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 15208 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
32feqmptd 6907 . . . . 5 (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
43reseq1d 5934 . . . 4 (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)))
5 elrege0 13325 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
65simplbi 498 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
76recnd 11141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
87ssriv 3946 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
9 resmpt 5989 . . . . 5 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
108, 9mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
114, 10eqtrd 2777 . . 3 (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
1211mptru 1548 . 2 (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
13 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
14 resqrtcl 15098 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
155, 14sylbi 216 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
1613, 15fmpti 7056 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ
17 ax-resscn 11066 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
18 cxpsqrt 26010 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
197, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
2019mpteq2ia 5206 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221cnfldtopon 24098 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
24 resttopon 22464 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
2523, 8, 24sylancl 586 . . . . . . . 8 (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
2625cnmptid 22964 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
27 cnvimass 6031 . . . . . . . . . . 11 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
28 ref 14957 . . . . . . . . . . . 12 ℜ:ℂ⟶ℝ
2928fdmi 6677 . . . . . . . . . . 11 dom ℜ = ℂ
3027, 29sseqtri 3978 . . . . . . . . . 10 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
31 resttopon 22464 . . . . . . . . . 10 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(ℜ “ ℝ+)))
3223, 30, 31sylancl 586 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(ℜ “ ℝ+)))
33 halfcn 12326 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
34 1rp 12873 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
35 rphalfcl 12896 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ+
37 rpre 12877 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
38 rere 14967 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2))
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2)
4039, 36eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+
41 ffn 6665 . . . . . . . . . . . 12 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
42 elpreima 7005 . . . . . . . . . . . 12 (ℜ Fn ℂ → ((1 / 2) ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+)))
4328, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+))
4433, 40, 43mpbir2an 709 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ (ℜ “ ℝ+)
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (1 / 2) ∈ (ℜ “ ℝ+))
4625, 32, 45cnmptc 22965 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℜ “ ℝ+))))
47 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ℜ “ ℝ+) = (ℜ “ ℝ+)
48 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℜ “ ℝ+)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℜ “ ℝ+))
5047, 21, 48, 49cxpcn3 26053 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
52 oveq12 7360 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦𝑐𝑧) = (𝑥𝑐(1 / 2)))
5325, 26, 46, 25, 32, 51, 52cnmpt12 22970 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
54 ssid 3964 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
5522toponrestid 22222 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
5621, 48, 55cncfcn 24225 . . . . . . . 8 (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
578, 54, 56mp2an 690 . . . . . . 7 ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5853, 57eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
5920, 58eqeltrrid 2843 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
6059mptru 1548 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
61 cncfcdm 24213 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ))
6217, 60, 61mp2an 690 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
6316, 62mpbir 230 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
6412, 63eqeltri 2834 1 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wss 3908   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ccnv 5630  dom cdm 5631  cres 5633  cima 5634   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cmpo 7353  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11144  cle 11148   / cdiv 11770  2c2 12166  +crp 12869  [,)cico 13220  cre 14942  csqrt 15078  t crest 17262  TopOpenctopn 17263  fldccnfld 20749  TopOnctopon 22211   Cn ccn 22527   ×t ctx 22863  cnccncf 24191  𝑐ccxp 25863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913  df-tan 15914  df-pi 15915  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-cmp 22690  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-cncf 24193  df-limc 25182  df-dv 25183  df-log 25864  df-cxp 25865
This theorem is referenced by:  loglesqrt  26063  rpsqrtcn  33018  areacirclem2  36105
  Copyright terms: Public domain W3C validator