Theorem plycn 26320

Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) Avoid ax-mulf 11264. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
plycn	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Proof of Theorem plycn

Dummy variables 𝑧 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3	1, 2	coeid 26297	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 24824	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
7		fzfid 14024	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
8	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
9	1	coef3 26291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
10		elfznn0 13677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
13	8, 8, 12	cnmptc 23691	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15	4	expcn 24915	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	4	mpomulcn 24910	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
19		oveq12 7457	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∧ 𝑣 = (𝑧↑𝑘)) → (𝑢 · 𝑣) = (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
20	8, 13, 16, 8, 8, 18, 19	cnmpt12 23696	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21	4, 6, 7, 20	fsumcn 24913	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	3, 21	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
23	4	cncfcn1 24956	. 2 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
24	22, 23	eleqtrrdi 2855	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Σcsu 15734  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253   ×_t ctx 23589  –cn→ccncf 24921  Polycply 26243  coeffccoe 26245  degcdgr 26246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-0p 25724  df-ply 26247  df-coe 26249  df-dgr 26250

This theorem is referenced by:  plycpn  26349  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  ftalem3  27136  signsply0  34528