MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycn 26117
Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) Avoid ax-mulf 11187. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
plycn (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))

Proof of Theorem plycn
Dummy variables ๐‘ง ๐‘˜ ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (coeffโ€˜๐น) = (coeffโ€˜๐น)
2 eqid 2724 . . . 4 (degโ€˜๐น) = (degโ€˜๐น)
31, 2coeid 26094 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
4 eqid 2724 . . . 4 (TopOpenโ€˜โ„‚fld) = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
54cnfldtopon 24623 . . . . 5 (TopOpenโ€˜โ„‚fld) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„‚)
65a1i 11 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (TopOpenโ€˜โ„‚fld) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„‚))
7 fzfid 13936 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (0...(degโ€˜๐น)) โˆˆ Fin)
85a1i 11 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))) โ†’ (TopOpenโ€˜โ„‚fld) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„‚))
91coef3 26088 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (coeffโ€˜๐น):โ„•0โŸถโ„‚)
10 elfznn0 13592 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
11 ffvelcdm 7074 . . . . . . 7 (((coeffโ€˜๐น):โ„•0โŸถโ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
129, 10, 11syl2an 595 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))) โ†’ ((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
138, 8, 12cnmptc 23490 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld)))
1410adantl 481 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
154expcn 24714 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘งโ†‘๐‘˜)) โˆˆ ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘งโ†‘๐‘˜)) โˆˆ ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld)))
174mpomulcn 24709 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ โ„‚, ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜โ„‚fld) ร—t (TopOpenโ€˜โ„‚fld)) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld))
1817a1i 11 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ โ„‚, ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜โ„‚fld) ร—t (TopOpenโ€˜โ„‚fld)) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld)))
19 oveq12 7411 . . . . 5 ((๐‘ข = ((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) โˆง ๐‘ฃ = (๐‘งโ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) = (((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
208, 13, 16, 8, 8, 18, 19cnmpt12 23495 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld)))
214, 6, 7, 20fsumcn 24712 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(degโ€˜๐น))(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld)))
223, 21eqeltrd 2825 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld)))
234cncfcn1 24755 . 2 (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚) = ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) Cn (TopOpenโ€˜โ„‚fld))
2422, 23eleqtrrdi 2836 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5222  โŸถwf 6530  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   โˆˆ cmpo 7404  โ„‚cc 11105  0cc0 11107   ยท cmul 11112  โ„•0cn0 12470  ...cfz 13482  โ†‘cexp 14025  ฮฃcsu 15630  TopOpenctopn 17368  โ„‚fldccnfld 21230  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052   ร—t ctx 23388  โ€“cnโ†’ccncf 24720  Polycply 26040  coeffccoe 26042  degcdgr 26043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-0p 25523  df-ply 26044  df-coe 26046  df-dgr 26047
This theorem is referenced by:  plycpn  26145  taylthlem2  26229  ftalem3  26926  signsply0  34054  gg-taylthlem2  35658
  Copyright terms: Public domain W3C validator