Theorem iihalf1cn 24896

Description: The first half function is a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11217. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
iihalf1cn.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
iihalf1cn	⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn II)

Proof of Theorem iihalf1cn

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		iihalf1cn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
3		dfii2 24845	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
4		0red 11246	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		halfre 12462	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6		iccssre 13451	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (⊤ → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
8		unitssre 13521	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℝ)
10		iihalf1 24895	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,](1 / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
12	1	cnfldtopon 24740	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
14		2cnd 12326	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
15	13, 13, 14	cnmptc 23617	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	13	cnmptid 23616	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	1	mpomulcn 24828	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
19		oveq12 7422	. . . 4 ⊢ ((𝑢 = 2 ∧ 𝑣 = 𝑥) → (𝑢 · 𝑣) = (2 · 𝑥))
20	13, 15, 16, 13, 13, 18, 19	cnmpt12 23622	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21	1, 2, 3, 7, 9, 11, 20	cnmptre 24891	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn II))
22	21	mptru 1546	1 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn II)

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931   ↦ cmpt 5205  ran crn 5666  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138   · cmul 11142   / cdiv 11902  2c2 12303  (,)cioo 13369  [,]cicc 13372   ↾_t crest 17437  TopOpenctopn 17438  topGenctg 17454  ℂ_fldccnfld 21327  TopOnctopon 22865   Cn ccn 23179   ×_t ctx 23515  IIcii 24838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-hom 17298  df-cco 17299  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-psmet 21319  df-xmet 21320  df-met 21321  df-bl 21322  df-mopn 21323  df-cnfld 21328  df-top 22849  df-topon 22866  df-topsp 22888  df-bases 22901  df-cn 23182  df-cnp 23183  df-tx 23517  df-hmeo 23710  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-ii 24840

This theorem is referenced by:  htpycc  24949  pcocn  24987  pcohtpylem  24989  pcopt2  24993  pcoass  24994  pcorevlem  24996