Theorem iihalf2cn 23110

Description: The second half function is a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iihalf2cn.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))

Assertion

Ref	Expression
iihalf2cn	⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II)

Proof of Theorem iihalf2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		iihalf2cn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
3		dfii2 23062	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
4		halfre 11579	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		1re 10363	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		iccssre 12550	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 683	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
9		unitssre 12619	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℝ)
11		iihalf2 23109	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
12	11	adantl 475	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
13	1	cnfldtopon 22963	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
15		2cnd 11436	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
16	14, 14, 15	cnmptc 21843	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	14	cnmptid 21842	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18	1	mulcn 23047	. . . . . 6 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
20	14, 16, 17, 19	cnmpt12f 21847	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21		1cnd 10358	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
22	14, 14, 21	cnmptc 21843	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
23	1	subcn 23046	. . . . 5 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	14, 20, 22, 24	cnmpt12f 21847	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	1, 2, 3, 8, 10, 12, 25	cnmptre 23103	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II))
27	26	mptru 1664	1 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II)

Syntax hints:   = wceq 1656  ⊤wtru 1657   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798   ↦ cmpt 4954  ran crn 5347  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   − cmin 10592   / cdiv 11016  2c2 11413  (,)cioo 12470  [,]cicc 12473   ↾_t crest 16441  TopOpenctopn 16442  topGenctg 16458  ℂ_fldccnfld 20113  TopOnctopon 21092   Cn ccn 21406   ×_t ctx 21741  IIcii 23055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-ii 23057

This theorem is referenced by:  htpycc  23156  pcocn  23193  pcohtpylem  23195  pcopt  23198  pcorevlem  23202