Theorem cxpcncf1 34960

Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent A, is continuous. Similar to cxpcn 26888. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcncf1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpcncf1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))

Assertion

Ref	Expression
cxpcncf1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cxpcncf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcncf1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
2		resmpt 6041	. . 3 ⊢ (𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)))
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 24920	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6		difss 4091	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
7		resttopon 23299	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
8	5, 6, 7	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
10	9	cnmptid 23799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
11	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		cxpcncf1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	9, 11, 12	cnmptc 23800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
16	14, 4, 15	cxpcn 26888	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18		oveq12 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐𝐴))
19	9, 10, 13, 9, 11, 17, 18	cnmpt12 23805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
20		ssid 3960	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
21	5	toponrestid 23059	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
22	4, 15, 21	cncfcn 25050	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
23	6, 20, 22	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
24	23	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
26	19, 25	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
27		rescncf 25037	. . . 4 ⊢ (𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)))
28	27	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
29	1, 26, 28	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
30	3, 29	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5193   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11099  0cc0 11101  -∞cmnf 11242  (,]cioc 13374   ↾_t crest 17474  TopOpenctopn 17475  ℂ_fldccnfld 21503  TopOnctopon 23048   Cn ccn 23362   ×_t ctx 23698  –cn→ccncf 25016  ↑_𝑐ccxp 26698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-tan 16126  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26699  df-cxp 26700

This theorem is referenced by:  logdivsqrle  35015