Theorem cxpcncf1 34789

Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent A, is continuous. Similar to cxpcn 26730. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcncf1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpcncf1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))

Assertion

Ref	Expression
cxpcncf1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cxpcncf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcncf1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
2		resmpt 5995	. . 3 ⊢ (𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)))
4		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 24768	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6		difss 4068	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
7		resttopon 23147	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
8	5, 6, 7	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
10	9	cnmptid 23647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
11	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		cxpcncf1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	9, 11, 12	cnmptc 23648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
15		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
16	14, 4, 15	cxpcn 26730	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18		oveq12 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐𝐴))
19	9, 10, 13, 9, 11, 17, 18	cnmpt12 23653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
20		ssid 3938	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
21	5	toponrestid 22907	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
22	4, 15, 21	cncfcn 24898	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
23	6, 20, 22	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
24	23	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
26	19, 25	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
27		rescncf 24885	. . . 4 ⊢ (𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)))
28	27	imp 408	. . 3 ⊢ ((𝐷 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
29	1, 26, 28	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
30	3, 29	eqeltrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884   ↦ cmpt 5155   ↾ cres 5622  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∈ cmpo 7361  ℂcc 11032  0cc0 11034  -∞cmnf 11173  (,]cioc 13294   ↾_t crest 17378  TopOpenctopn 17379  ℂ_fldccnfld 21350  TopOnctopon 22896   Cn ccn 23210   ×_t ctx 23546  –cn→ccncf 24864  ↑_𝑐ccxp 26540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-tan 16031  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cld 23005  df-ntr 23006  df-cls 23007  df-nei 23084  df-lp 23122  df-perf 23123  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-haus 23301  df-cmp 23373  df-tx 23548  df-hmeo 23741  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-xms 24306  df-ms 24307  df-tms 24308  df-cncf 24866  df-limc 25854  df-dv 25855  df-log 26541  df-cxp 26542

This theorem is referenced by:  logdivsqrle  34844