Theorem cxpcncf2 44035

Description: The complex power function is continuous with respect to its second argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cxpcncf2	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cxpcncf2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24098	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
4		difss 4090	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
5		resttopon 22464	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
6	2, 4, 5	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
9		snidg 4619	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
10	9	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11	10	fmpttd 7060	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴):ℂ⟶{𝐴})
12		cnconst 22587	. . . 4 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ∧ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴):ℂ⟶{𝐴})) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
13	3, 7, 8, 11, 12	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
14	3	cnmptid 22964	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
17	15, 1, 16	cxpcn 26050	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
19		oveq12 7361	. . 3 ⊢ ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝐴↑𝑐𝑥))
20	3, 13, 14, 7, 3, 18, 19	cnmpt12 22970	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
21		ssid 3965	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
22	2	toponrestid 22222	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
23	1, 22, 22	cncfcn 24225	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	21, 21, 23	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
25	24	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = (ℂ–cn→ℂ)
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = (ℂ–cn→ℂ))
27	20, 26	eleqtrd 2841	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3906   ⊆ wss 3909  {csn 4585   ↦ cmpt 5187  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  ℂcc 11008  0cc0 11010  -∞cmnf 11146  (,]cioc 13220   ↾_t crest 17262  TopOpenctopn 17263  ℂ_fldccnfld 20749  TopOnctopon 22211   Cn ccn 22527   ×_t ctx 22863  –cn→ccncf 24191  ↑_𝑐ccxp 25863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088  ax-addf 11089  ax-mulf 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-ioo 13223  df-ioc 13224  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-mod 13730  df-seq 13862  df-exp 13923  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913  df-tan 15914  df-pi 15915  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-cmp 22690  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-cncf 24193  df-limc 25182  df-dv 25183  df-log 25864  df-cxp 25865

This theorem is referenced by:  etransclem18  44388  etransclem46  44416