HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvexchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvexchi 30474
Description: The Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chpssat.1 𝐴C
chpssat.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
cvexchi ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem cvexchi
StepHypRef Expression
1 chpssat.1 . . 3 𝐴C
2 chpssat.2 . . 3 𝐵C
31, 2cvexchlem 30473 . 2 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))
42choccli 29412 . . . . 5 (⊥‘𝐵) ∈ C
51choccli 29412 . . . . 5 (⊥‘𝐴) ∈ C
64, 5cvexchlem 30473 . . . 4 (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⋖ (⊥‘𝐴) → (⊥‘𝐵) ⋖ ((⊥‘𝐵) ∨ (⊥‘𝐴)))
71, 2chdmj1i 29586 . . . . . 6 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
8 incom 4129 . . . . . 6 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
97, 8eqtri 2766 . . . . 5 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
109breq1i 5074 . . . 4 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ⋖ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⋖ (⊥‘𝐴))
111, 2chdmm1i 29582 . . . . . 6 (⊥‘(𝐴𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))
125, 4chjcomi 29573 . . . . . 6 ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∨ (⊥‘𝐴))
1311, 12eqtri 2766 . . . . 5 (⊥‘(𝐴𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∨ (⊥‘𝐴))
1413breq2i 5075 . . . 4 ((⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘(𝐴𝐵)) ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ ((⊥‘𝐵) ∨ (⊥‘𝐴)))
156, 10, 143imtr4i 295 . . 3 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ⋖ (⊥‘𝐴) → (⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘(𝐴𝐵)))
161, 2chjcli 29562 . . . 4 (𝐴 𝐵) ∈ C
17 cvcon3 30389 . . . 4 ((𝐴C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (𝐴 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 𝐵)) ⋖ (⊥‘𝐴)))
181, 16, 17mp2an 692 . . 3 (𝐴 (𝐴 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 𝐵)) ⋖ (⊥‘𝐴))
191, 2chincli 29565 . . . 4 (𝐴𝐵) ∈ C
20 cvcon3 30389 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘(𝐴𝐵))))
2119, 2, 20mp2an 692 . . 3 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘(𝐴𝐵)))
2215, 18, 213imtr4i 295 . 2 (𝐴 (𝐴 𝐵) → (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)
233, 22impbii 212 1 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wcel 2111  cin 3879   class class class wbr 5067  cfv 6397  (class class class)co 7231   C cch 29034  cort 29035   chj 29038   ccv 29069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-inf2 9280  ax-cc 10073  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831  ax-addf 10832  ax-mulf 10833  ax-hilex 29104  ax-hfvadd 29105  ax-hvcom 29106  ax-hvass 29107  ax-hv0cl 29108  ax-hvaddid 29109  ax-hfvmul 29110  ax-hvmulid 29111  ax-hvmulass 29112  ax-hvdistr1 29113  ax-hvdistr2 29114  ax-hvmul0 29115  ax-hfi 29184  ax-his1 29187  ax-his2 29188  ax-his3 29189  ax-his4 29190  ax-hcompl 29307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-se 5524  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-isom 6406  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-of 7487  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-supp 7924  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-2o 8223  df-oadd 8226  df-omul 8227  df-er 8411  df-map 8530  df-pm 8531  df-ixp 8599  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-fsupp 9010  df-fi 9051  df-sup 9082  df-inf 9083  df-oi 9150  df-card 9579  df-acn 9582  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-div 11514  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-4 11919  df-5 11920  df-6 11921  df-7 11922  df-8 11923  df-9 11924  df-n0 12115  df-z 12201  df-dec 12318  df-uz 12463  df-q 12569  df-rp 12611  df-xneg 12728  df-xadd 12729  df-xmul 12730  df-ioo 12963  df-ico 12965  df-icc 12966  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-fl 13391  df-seq 13599  df-exp 13660  df-hash 13921  df-cj 14686  df-re 14687  df-im 14688  df-sqrt 14822  df-abs 14823  df-clim 15073  df-rlim 15074  df-sum 15274  df-struct 16724  df-sets 16741  df-slot 16759  df-ndx 16769  df-base 16785  df-ress 16809  df-plusg 16839  df-mulr 16840  df-starv 16841  df-sca 16842  df-vsca 16843  df-ip 16844  df-tset 16845  df-ple 16846  df-ds 16848  df-unif 16849  df-hom 16850  df-cco 16851  df-rest 16951  df-topn 16952  df-0g 16970  df-gsum 16971  df-topgen 16972  df-pt 16973  df-prds 16976  df-xrs 17031  df-qtop 17036  df-imas 17037  df-xps 17039  df-mre 17113  df-mrc 17114  df-acs 17116  df-mgm 18138  df-sgrp 18187  df-mnd 18198  df-submnd 18243  df-mulg 18513  df-cntz 18735  df-cmn 19196  df-psmet 20379  df-xmet 20380  df-met 20381  df-bl 20382  df-mopn 20383  df-fbas 20384  df-fg 20385  df-cnfld 20388  df-top 21815  df-topon 21832  df-topsp 21854  df-bases 21867  df-cld 21940  df-ntr 21941  df-cls 21942  df-nei 22019  df-cn 22148  df-cnp 22149  df-lm 22150  df-haus 22236  df-tx 22483  df-hmeo 22676  df-fil 22767  df-fm 22859  df-flim 22860  df-flf 22861  df-xms 23242  df-ms 23243  df-tms 23244  df-cfil 24176  df-cau 24177  df-cmet 24178  df-grpo 28598  df-gid 28599  df-ginv 28600  df-gdiv 28601  df-ablo 28650  df-vc 28664  df-nv 28697  df-va 28700  df-ba 28701  df-sm 28702  df-0v 28703  df-vs 28704  df-nmcv 28705  df-ims 28706  df-dip 28806  df-ssp 28827  df-ph 28918  df-cbn 28968  df-hnorm 29073  df-hba 29074  df-hvsub 29076  df-hlim 29077  df-hcau 29078  df-sh 29312  df-ch 29326  df-oc 29357  df-ch0 29358  df-shs 29413  df-span 29414  df-chj 29415  df-chsup 29416  df-pjh 29500  df-cv 30384  df-at 30443
This theorem is referenced by:  cvexch  30479
  Copyright terms: Public domain W3C validator