Theorem cvexchi 29753

Description: The Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chpssat.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
cvexchi	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem cvexchi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpssat.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chpssat.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	cvexchlem 29752	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
4	2	choccli 28691	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
5	1	choccli 28691	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
6	4, 5	cvexchlem 29752	. . . 4 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⋖ℋ (⊥‘𝐴) → (⊥‘𝐵) ⋖ℋ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
7	1, 2	chdmj1i 28865	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
8		incom 4003	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
9	7, 8	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
10	9	breq1i 4850	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⋖ℋ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⋖ℋ (⊥‘𝐴))
11	1, 2	chdmm1i 28861	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))
12	5, 4	chjcomi 28852	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))
14	13	breq2i 4851	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ℋ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
15	6, 10, 14	3imtr4i 284	. . 3 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⋖ℋ (⊥‘𝐴) → (⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
16	1, 2	chjcli 28841	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
17		cvcon3 29668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⋖ℋ (⊥‘𝐴)))
18	1, 16, 17	mp2an 684	. . 3 ⊢ (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⋖ℋ (⊥‘𝐴))
19	1, 2	chincli 28844	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
20		cvcon3 29668	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
21	19, 2, 20	mp2an 684	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
22	15, 18, 21	3imtr4i 284	. 2 ⊢ (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)
23	3, 22	impbii 201	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157   ∩ cin 3768   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   C_ℋ cch 28311  ⊥cort 28312   ∨_ℋ chj 28315   ⋖_ℋ ccv 28346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304  ax-hilex 28381  ax-hfvadd 28382  ax-hvcom 28383  ax-hvass 28384  ax-hv0cl 28385  ax-hvaddid 28386  ax-hfvmul 28387  ax-hvmulid 28388  ax-hvmulass 28389  ax-hvdistr1 28390  ax-hvdistr2 28391  ax-hvmul0 28392  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465  ax-his3 28466  ax-his4 28467  ax-hcompl 28584

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-lm 21362  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cfil 23381  df-cau 23382  df-cmet 23383  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981  df-dip 28081  df-ssp 28102  df-ph 28193  df-cbn 28244  df-hnorm 28350  df-hba 28351  df-hvsub 28353  df-hlim 28354  df-hcau 28355  df-sh 28589  df-ch 28603  df-oc 28634  df-ch0 28635  df-shs 28692  df-span 28693  df-chj 28694  df-chsup 28695  df-pjh 28779  df-cv 29663  df-at 29722

This theorem is referenced by:  cvexch  29758