MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccld 23347
Description: Closed intervals are closed sets of the standard topology on . (Contributed by FL, 14-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
icccld ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icccld
StepHypRef Expression
1 difreicc 12849 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
2 retop 23342 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3 iooretop 23346 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
4 iooretop 23346 . . . 4 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
5 unopn 21483 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
62, 3, 4, 5mp3an 1457 . . 3 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,))
71, 6eqeltrdi 2919 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
8 iccssre 12794 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 uniretop 23343 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
109iscld2 21608 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
112, 8, 10sylancr 589 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
127, 11mpbird 259 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wcel 2114  cdif 3906  cun 3907  wss 3909  ran crn 5528  cfv 6327  (class class class)co 7129  cr 10510  +∞cpnf 10646  -∞cmnf 10647  (,)cioo 12713  [,]cicc 12716  topGenctg 16686  Topctop 21473  Clsdccld 21596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-sup 8880  df-inf 8881  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-q 12324  df-ioo 12717  df-icc 12720  df-topgen 16692  df-top 21474  df-bases 21526  df-cld 21599
This theorem is referenced by:  cnmpopc  23508  cvmliftlem10  32545  mblfinlem1  34966  mblfinlem2  34967  icccmpALT  35151
  Copyright terms: Public domain W3C validator