Theorem icccld 24891

Description: Closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by FL, 14-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
icccld	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difreicc 13510	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
2		retop 24886	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3		iooretop 24890	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
4		iooretop 24890	. . . 4 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
5		unopn 23028	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1487	. . 3 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,))
7	1, 6	eqeltrdi 2877	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
8		iccssre 13455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9		uniretop 24887	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
10	9	iscld2 23153	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
11	2, 8, 10	sylancr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
12	7, 11	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  +∞cpnf 11239  -∞cmnf 11240  (,)cioo 13371  [,]cicc 13374  topGenctg 17489  Topctop 23018  Clsdccld 23141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-ioo 13375  df-icc 13378  df-topgen 17495  df-top 23019  df-bases 23071  df-cld 23144

This theorem is referenced by:  cnmpopc  25055  cvmliftlem10  35684  mblfinlem1  38195  mblfinlem2  38196  icccmpALT  38379