MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccld 24036
Description: Closed intervals are closed sets of the standard topology on . (Contributed by FL, 14-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
icccld ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icccld
StepHypRef Expression
1 difreicc 13317 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
2 retop 24031 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3 iooretop 24035 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
4 iooretop 24035 . . . 4 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
5 unopn 22158 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
62, 3, 4, 5mp3an 1460 . . 3 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,))
71, 6eqeltrdi 2845 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
8 iccssre 13262 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 uniretop 24032 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
109iscld2 22285 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
112, 8, 10sylancr 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
127, 11mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2105  cdif 3895  cun 3896  wss 3898  ran crn 5621  cfv 6479  (class class class)co 7337  cr 10971  +∞cpnf 11107  -∞cmnf 11108  (,)cioo 13180  [,]cicc 13183  topGenctg 17245  Topctop 22148  Clsdccld 22273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-ioo 13184  df-icc 13187  df-topgen 17251  df-top 22149  df-bases 22202  df-cld 22276
This theorem is referenced by:  cnmpopc  24197  cvmliftlem10  33555  mblfinlem1  35927  mblfinlem2  35928  icccmpALT  36112
  Copyright terms: Public domain W3C validator