Theorem iccmbl 25467

Description: A closed real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmbl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem iccmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssre 13390	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2		dfss4 4232	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴[,]𝐵))
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴[,]𝐵))
4		difreicc 13445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
5		ioombl 25466	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ dom vol
6		ioombl 25466	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ dom vol
7		unmbl 25438	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,)𝐴) ∈ dom vol ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ dom vol) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ dom vol)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ dom vol
9	4, 8	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ dom vol)
10		cmmbl 25435	. . 3 ⊢ ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∈ dom vol)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∈ dom vol)
12	3, 11	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  dom cdm 5638  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  (,)cioo 13306  [,]cicc 13309  volcvol 25364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-xmet 21257  df-met 21258  df-ovol 25365  df-vol 25366

This theorem is referenced by:  iccvolcl  25468  ovolioo  25469  dyadmbl  25501  volsup2  25506  volcn  25507  volivth  25508  mbfi1fseqlem4  25619  cniccibl  25742  cnicciblnc  25744  ftc1lem4  25946  ftc1cnnclem  37685  areacirc  37707  3factsumint1  42009  iocmbl  43202  arearect  43204  areaquad  43205  volicc  45996  fourierdlem87  46191  fourierdlem107  46211