![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divdiv32 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Swap denominators in a division. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
divdiv32 | โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | reccl 11884 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (1 / ๐ต) โ โ) | |
2 | div23 11896 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (1 / ๐ต) โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด ยท (1 / ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (1 / ๐ต))) | |
3 | 1, 2 | syl3an2 1163 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด ยท (1 / ๐ต)) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (1 / ๐ต))) |
4 | divrec 11893 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) | |
5 | 4 | 3expb 1119 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
6 | 5 | 3adant3 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
7 | 6 | oveq1d 7427 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด ยท (1 / ๐ต)) / ๐ถ)) |
8 | divcl 11883 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (๐ด / ๐ถ) โ โ) | |
9 | 8 | 3expb 1119 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด / ๐ถ) โ โ) |
10 | divrec 11893 | . . . . . 6 โข (((๐ด / ๐ถ) โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (1 / ๐ต))) | |
11 | 9, 10 | syl3an1 1162 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (1 / ๐ต))) |
12 | 11 | 3expb 1119 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (1 / ๐ต))) |
13 | 12 | 3impa 1109 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (1 / ๐ต))) |
14 | 13 | 3com23 1125 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (1 / ๐ต))) |
15 | 3, 7, 14 | 3eqtr4d 2781 | 1 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wne 2939 (class class class)co 7412 โcc 11112 0cc0 11114 1c1 11115 ยท cmul 11119 / cdiv 11876 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 |
This theorem is referenced by: divdiv23zi 11972 divdiv32d 12020 efeq1 26274 logexprlim 26965 pntlemb 27337 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |