Theorem div23 10995

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
div23	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 10309	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2	1	oveq1d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶))
3	2	3adant3 1163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶))
4		divass 10994	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
5	4	3com12 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
6		simp2 1168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		divcl 10982	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
8	7	3expb 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
9	8	3adant2 1162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcomd 10349	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
11	3, 5, 10	3eqtrd 2836	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970  (class class class)co 6877  ℂcc 10221  0cc0 10223   · cmul 10228   / cdiv 10975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4628  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976

This theorem is referenced by:  div32  10996  div13  10997  divdiv32  11024  dmdcan  11026  div23i  11074  div23d  11129  digit2  13248  mulsubdivbinom2  13299  facdiv  13324  mertenslem1  14950  mulsucdiv2z  15410  bposlem9  25366  lgsquadlem2  25455  2lgslem3a  25470  2lgslem3b  25471  2lgslem3c  25472  2lgslem3d  25473  chtppilimlem2  25512  vmadivsum  25520  dchrmusum2  25532  dchrvmasumlem1  25533  dchrvmasumlem2  25536  mudivsum  25568  mulog2sumlem2  25573  selberglem1  25583  selberglem2  25584  selberg2lem  25588  pntibndlem2  25629  pntlemb  25635  pntlemn  25638  pntlemr  25640  pntlemj  25641  pntlemf  25643  pntlemk  25644  pntlemo  25645  siii  28226  riesz3i  29439  dpexpp1  30125  subdivcomb2  32120  lighneallem3  42295  dignn0fr  43183