MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div23 11309
Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
div23 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23
StepHypRef Expression
1 mulcom 10615 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
21oveq1d 7163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶))
323adant3 1126 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶))
4 divass 11308 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
543com12 1117 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
6 simp2 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 divcl 11296 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
873expb 1114 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
983adant2 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
106, 9mulcomd 10654 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
113, 5, 103eqtrd 2858 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529   · cmul 10534   / cdiv 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290
This theorem is referenced by:  div32  11310  div13  11311  subdivcomb2  11328  divdiv32  11340  dmdcan  11342  div23i  11390  div23d  11445  digit2  13589  mulsubdivbinom2  13614  facdiv  13639  mertenslem1  15232  mulsucdiv2z  15694  bposlem9  25860  lgsquadlem2  25949  2lgslem3a  25964  2lgslem3b  25965  2lgslem3c  25966  2lgslem3d  25967  chtppilimlem2  26042  vmadivsum  26050  dchrmusum2  26062  dchrvmasumlem1  26063  dchrvmasumlem2  26066  mudivsum  26098  mulog2sumlem2  26103  selberglem1  26113  selberglem2  26114  selberg2lem  26118  pntibndlem2  26159  pntlemb  26165  pntlemn  26168  pntlemr  26170  pntlemj  26171  pntlemf  26173  pntlemk  26174  pntlemo  26175  siii  28622  riesz3i  29831  dpexpp1  30577  lighneallem3  43757  dignn0fr  44646  line2  44724
  Copyright terms: Public domain W3C validator