Theorem divscan2wd 28142

Description: A weak cancellation law for surreal division. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divscan2wd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divscan2wd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divscan2wd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divscan2wd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divscan2wd	⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem divscan2wd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 /su 𝐵)
2		divscan2wd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		divscan2wd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4		divscan2wd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
5		divscan2wd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )
6	2, 3, 4, 5	divsclwd 28141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
7	2, 6, 3, 4, 5	divsmulwd 28139	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 /su 𝐵) ↔ (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴))
8	1, 7	mpbii 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  (class class class)co 7352   No csur 27584   0_s c0s 27772   1_s c1s 27773   ·_s cmuls 28051   /_su cdivs 28132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-1o 8391  df-2o 8392  df-nadd 8587  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sle 27690  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27774  df-1s 27775  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec 27887  df-norec2 27898  df-adds 27909  df-negs 27969  df-subs 27970  df-muls 28052  df-divs 28133

This theorem is referenced by:  divscan1wd  28143  sltdivmulwd  28144  divsasswd  28148  divscan2d  28169  pw2divscan2d  28371