Theorem divscan2wd 28598

Description: A weak cancellation law for surreal division. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divscan2wd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
divscan2wd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
divscan2wd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divscan2wd.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divscan2wd	⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem divscan2wd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 /su 𝐵)
2		divscan2wd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
3		divscan2wd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
4		divscan2wd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
5		divscan2wd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )
6	2, 3, 4, 5	divsclwd 28597	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No)
7	2, 6, 3, 4, 5	divmulswd 28595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 /su 𝐵) ↔ (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴))
8	1, 7	mpbii 236	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 /su 𝐵)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  (class class class)co 7430  Nocsur 28012   0_s c0s 28206   1_s c1s 28207   ·_s cmuls 28507   /_su cdivs 28588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-1o 8490  df-2o 8491  df-nadd 8689  df-no 28015  df-lts 28016  df-bday 28017  df-les 28117  df-slts 28159  df-cuts 28161  df-0s 28208  df-1s 28209  df-made 28228  df-old 28229  df-left 28231  df-right 28232  df-norec 28339  df-norec2 28350  df-adds 28361  df-negs 28422  df-subs 28423  df-muls 28508  df-divs 28589

This theorem is used by:  divscan1wd  28599  ltdivmulswd  28600  divsasswd  28604  divscan2d  28626  pw2divscan2d  28843