Theorem pw2divscan2d 28452

Description: A cancellation law for surreal division by powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscan2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscan2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscan2d	⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)

Proof of Theorem pw2divscan2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divscan2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		2no 28429	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
3		pw2divscan2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
4		expscl 28441	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
5	2, 3, 4	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6		2ne0s 28430	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
7		expsne0 28446	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
8	2, 6, 3, 7	mp3an12i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9		pw2recs 28448	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	1, 5, 8, 10	divscan2wd 28207	1 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  (class class class)co 7362   No csur 27621   0_s c0s 27815   1_s c1s 27816   ·_s cmuls 28116   /_su cdivs 28197  ℕ_0scn0s 28322  2_sc2s 28420  ↑_scexps 28422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-nadd 8597  df-no 27624  df-lts 27625  df-bday 27626  df-les 27727  df-slts 27768  df-cuts 27770  df-0s 27817  df-1s 27818  df-made 27837  df-old 27838  df-left 27840  df-right 27841  df-norec 27948  df-norec2 27959  df-adds 27970  df-negs 28031  df-subs 28032  df-muls 28117  df-divs 28198  df-seqs 28294  df-n0s 28324  df-nns 28325  df-zs 28389  df-2s 28421  df-exps 28423

This theorem is referenced by:  pw2gt0divsd  28455  pw2ge0divsd  28456  pw2divsrecd  28457  pw2ltsdiv1d  28462  z12sge0  28493