MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsmulwd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsmulwd 28087
Description: Relationship between surreal division and multiplication. Weak version that does not assume reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
divsmulwd.1 (𝜑𝐴 No )
divsmulwd.2 (𝜑𝐵 No )
divsmulwd.3 (𝜑𝐶 No )
divsmulwd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0s )
divsmulwd.5 (𝜑 → ∃𝑥 No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
Assertion
Ref Expression
divsmulwd (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsmulwd
StepHypRef Expression
1 divsmulwd.1 . 2 (𝜑𝐴 No )
2 divsmulwd.2 . 2 (𝜑𝐵 No )
3 divsmulwd.3 . . 3 (𝜑𝐶 No )
4 divsmulwd.4 . . 3 (𝜑𝐶 ≠ 0s )
53, 4jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐶 No 𝐶 ≠ 0s ))
6 divsmulwd.5 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7 divsmulw 28086 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ∧ (𝐶 No 𝐶 ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))
81, 2, 5, 6, 7syl31anc 1371 1 (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wrex 3066  (class class class)co 7415   No csur 27567   0s c0s 27749   1s c1s 27750   ·s cmuls 28000   /su cdivs 28081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-1o 8481  df-2o 8482  df-nadd 8681  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27672  df-sslt 27708  df-scut 27710  df-0s 27751  df-1s 27752  df-made 27768  df-old 27769  df-left 27771  df-right 27772  df-norec 27849  df-norec2 27860  df-adds 27871  df-negs 27928  df-subs 27929  df-muls 28001  df-divs 28082
This theorem is referenced by:  divscan2wd  28090  divsmuld  28114
  Copyright terms: Public domain W3C validator