Theorem divsmulwd 28087

Description: Relationship between surreal division and multiplication. Weak version that does not assume reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsmulwd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
divsmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsmulwd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsmulwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsmulwd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsmulwd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		divsmulwd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		divsmulwd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ No ∧ 𝐶 ≠ 0s ))
6		divsmulwd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7		divsmulw 28086	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ (𝐶 ∈ No ∧ 𝐶 ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066  (class class class)co 7415   No csur 27567   0_s c0s 27749   1_s c1s 27750   ·_s cmuls 28000   /_su cdivs 28081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-1o 8481  df-2o 8482  df-nadd 8681  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27672  df-sslt 27708  df-scut 27710  df-0s 27751  df-1s 27752  df-made 27768  df-old 27769  df-left 27771  df-right 27772  df-norec 27849  df-norec2 27860  df-adds 27871  df-negs 27928  df-subs 27929  df-muls 28001  df-divs 28082

This theorem is referenced by:  divscan2wd  28090  divsmuld  28114