Theorem divsmulwd 28121

Description: Relationship between surreal division and multiplication. Weak version that does not assume reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsmulwd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
divsmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
divsmulwd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divsmulwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsmulwd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsmulwd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		divsmulwd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		divsmulwd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
5	3, 4	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ No ∧ 𝐶 ≠ 0s ))
6		divsmulwd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
7		divsmulw 28120	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ (𝐶 ∈ No ∧ 𝐶 ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  (class class class)co 7426   No csur 27601   0_s c0s 27783   1_s c1s 27784   ·_s cmuls 28034   /_su cdivs 28115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-1o 8495  df-2o 8496  df-nadd 8695  df-no 27604  df-slt 27605  df-bday 27606  df-sle 27706  df-sslt 27742  df-scut 27744  df-0s 27785  df-1s 27786  df-made 27802  df-old 27803  df-left 27805  df-right 27806  df-norec 27883  df-norec2 27894  df-adds 27905  df-negs 27962  df-subs 27963  df-muls 28035  df-divs 28116

This theorem is referenced by:  divscan2wd  28124  divsmuld  28148