Theorem divsmuld 28075

Description: Relationship between surreal division and multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsmuld.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divsmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem divsmuld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsmuld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsmuld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		divsmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		divsmuld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
5	3, 4	recsexd 28073	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
6	1, 2, 3, 4, 5	divsmulwd 28048	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7405   No csur 27528   0_s c0s 27710   ·_s cmuls 27961   /_su cdivs 28042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-dc 10443

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-nadd 8667  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-1s 27713  df-made 27729  df-old 27730  df-left 27732  df-right 27733  df-norec 27810  df-norec2 27821  df-adds 27832  df-negs 27889  df-subs 27890  df-muls 27962  df-divs 28043

This theorem is referenced by:  divmuldivsd  28085