Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunctb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunctb2 37318
Description: Using the axiom of countable choice ax-cc 10500, the countable union of countable sets is countable. See iunctb 10639 for a somewhat more general theorem. (Contributed by ML, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
iunctb2 (∀𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω → 𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω)

Proof of Theorem iunctb2
StepHypRef Expression
1 omex 9708 . . 3 ω ∈ V
2 domrefg 9043 . . 3 (ω ∈ V → ω ≼ ω)
31, 2ax-mp 5 . 2 ω ≼ ω
4 iunctb 10639 . 2 ((ω ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω) → 𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω)
53, 4mpan 689 1 (∀𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω → 𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2103  wral 3063  Vcvv 3482   ciun 5019   class class class wbr 5169  ωcom 7899  cdom 8997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cc 10500
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-oi 9575  df-card 10004  df-acn 10007
This theorem is referenced by:  ctbssinf  37321
  Copyright terms: Public domain W3C validator