Theorem iunctb2 37398

Description: Using the axiom of countable choice ax-cc 10479, the countable union of countable sets is countable. See iunctb 10618 for a somewhat more general theorem. (Contributed by ML, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iunctb2	⊢ (∀𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω)

Proof of Theorem iunctb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9687	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		domrefg 9032	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ω ≼ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ω ≼ ω
4		iunctb 10618	. 2 ⊢ ((ω ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω)
5	3, 4	mpan 690	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ ω 𝐵 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  Vcvv 3479  ∪ ciun 4997   class class class wbr 5149  ωcom 7891   ≼ cdom 8988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685  ax-cc 10479

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-er 8750  df-map 8873  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-oi 9554  df-card 9983  df-acn 9986

This theorem is referenced by:  ctbssinf  37401