Theorem eldiophelnn0 43293

Description: Remove antecedent on 𝐵 from Diophantine set constructors. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldiophelnn0	⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eldiophelnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophb 43286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∃𝑎 ∈ (mzPoly‘(1...𝑏))𝐴 = {𝑐 ∣ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑏))(𝑐 = (𝑑 ↾ (1...𝐵)) ∧ (𝑎‘𝑑) = 0)}))
2	1	simplbi 499	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {cab 2734  ∃wrex 3080   ↾ cres 5642  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ↑_m cmap 8796  0cc0 11063  1c1 11064  ℕ₀cn0 12471  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13502  mzPolycmzp 43251  Diophcdioph 43284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-addcl 11123  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-dioph 43285

This theorem is referenced by:  eldioph3b  43294  diophin  43301  diophun  43302  eldioph4b  43336