Theorem eldiophelnn0 40502

Description: Remove antecedent on 𝐵 from Diophantine set constructors. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldiophelnn0	⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eldiophelnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophb 40495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐵)∃𝑎 ∈ (mzPoly‘(1...𝑏))𝐴 = {𝑐 ∣ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑏))(𝑐 = (𝑑 ↾ (1...𝐵)) ∧ (𝑎‘𝑑) = 0)}))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  0cc0 10802  1c1 10803  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  mzPolycmzp 40460  Diophcdioph 40493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-dioph 40494

This theorem is referenced by:  eldioph3b  40503  diophin  40510  diophun  40511  eldioph4b  40549