Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldioph3b 39342
Description: Define Diophantine sets in terms of polynomials with variables indexed by . This avoids a quantifier over the number of witness variables and will be easier to use than eldiophb 39334 in most cases. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph3b (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝𝑢) = 0)}))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑡,𝑢   𝑁,𝑝,𝑡,𝑢

Proof of Theorem eldioph3b
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 39341 . 2 (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nnex 11636 . . 3 ℕ ∈ V
3 1z 12004 . . . . 5 1 ∈ ℤ
4 nnuz 12273 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
54uzinf 13325 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → ¬ ℕ ∈ Fin)
63, 5ax-mp 5 . . . 4 ¬ ℕ ∈ Fin
7 elfznn 12928 . . . . 5 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
87ssriv 3969 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ ℕ
9 eldioph2b 39340 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ℕ ∈ V) ∧ (¬ ℕ ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ⊆ ℕ)) → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝𝑢) = 0)}))
106, 8, 9mpanr12 703 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ℕ ∈ V) → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝𝑢) = 0)}))
112, 10mpan2 689 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝𝑢) = 0)}))
121, 11biadanii 820 1 (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝𝑢) = 0)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2797  wrex 3137  Vcvv 3493  wss 3934  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7148  m cmap 8398  Fincfn 8501  0cc0 10529  1c1 10530  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12884  mzPolycmzp 39299  Diophcdioph 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683  df-mzpcl 39300  df-mzp 39301  df-dioph 39333
This theorem is referenced by:  eldioph3  39343  eldiophss  39351  diophrex  39352
  Copyright terms: Public domain W3C validator