Theorem eldioph3b 42857

Description: Define Diophantine sets in terms of polynomials with variables indexed by ℕ. This avoids a quantifier over the number of witness variables and will be easier to use than eldiophb 42849 in most cases. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldioph3b	⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑡,𝑢   𝑁,𝑝,𝑡,𝑢

Proof of Theorem eldioph3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophelnn0 42856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nnex 12131	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		1z 12502	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nnuz 12775	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	4	uzinf 13872	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → ¬ ℕ ∈ Fin)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
7		elfznn 13453	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
8	7	ssriv 3933	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
9		eldioph2b 42855	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ℕ ∈ V) ∧ (¬ ℕ ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ⊆ ℕ)) → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))
10	6, 8, 9	mpanr12 705	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ℕ ∈ V) → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))
11	2, 10	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))
12	1, 11	biadanii 821	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  0cc0 11006  1c1 11007  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ...cfz 13407  mzPolycmzp 42814  Diophcdioph 42847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238  df-mzpcl 42815  df-mzp 42816  df-dioph 42848

This theorem is referenced by:  eldioph3  42858  eldiophss  42866  diophrex  42867