Theorem eldioph3b 43151

Description: Define Diophantine sets in terms of polynomials with variables indexed by ℕ. This avoids a quantifier over the number of witness variables and will be easier to use than eldiophb 43143 in most cases. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldioph3b	⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑡,𝑢   𝑁,𝑝,𝑡,𝑢

Proof of Theorem eldioph3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophelnn0 43150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nnex 12165	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		1z 12535	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nnuz 12804	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	4	uzinf 13902	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → ¬ ℕ ∈ Fin)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
7		elfznn 13483	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
8	7	ssriv 3939	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
9		eldioph2b 43149	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ℕ ∈ V) ∧ (¬ ℕ ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ⊆ ℕ)) → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))
10	6, 8, 9	mpanr12 706	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ℕ ∈ V) → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))
11	2, 10	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))
12	1, 11	biadanii 822	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘ℕ)𝐴 = {𝑡 ∣ ∃𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ)(𝑡 = (𝑢 ↾ (1...𝑁)) ∧ (𝑝‘𝑢) = 0)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   ↾ cres 5636  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777  Fincfn 8897  0cc0 11040  1c1 11041  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ...cfz 13437  mzPolycmzp 43108  Diophcdioph 43141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-hash 14268  df-mzpcl 43109  df-mzp 43110  df-dioph 43142

This theorem is referenced by:  eldioph3  43152  eldiophss  43160  diophrex  43161